СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ - раздел Математика, Линейная алгебра Общая Система Из ...
Общая система из линейных алгебраических уравнений с неизвестными имеет вид
Коэффициенты при неизвестных объединяют в так называемую матрицу системы , неизвестные – в матрицу – столбец неизвестных , а правые части уравнений объединяют в матрицу – столбец . Учитывая введенные обозначения и определения умножения и равенства матриц, исходную систему уравнений записывают в виде .
Обычно, для более краткой записи нижние индексы матриц опускают и систему уравнений в матричной форме представляют в виде .
Если все правые части уравнений равны нулю, то систему называют однородной, если же хотя бы одна из правых частей системы отлична от нуля, то систему называют неоднородной. Если число уравнений равно числу неизвестных, то матрица ее коэффициентов квадратная, а саму систему называют квадратной.
Конечная последовательность чисел называется решением системы уравнений, если при подстановке этих чисел вместо неизвестных все уравнения системы обращаются в верные равенства. Множество всех решений системы называют общим решением системы.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В обратном случае систему называют несовместной, а ее множество решений является пустым множеством. Если решение системы единственное, то такую систему называют определенной, если же система имеет более чем одно решение, то – неопределенной. Далее будет доказано, что неопределенные системы могут иметь только бесконечно много решений. Таким образом, любая система может иметь одно решение, бесконечно много решений или не иметь вообще ни одного решения.
Рассмотрим несколько характерных примеров.
Система уравнений - квадратная, неоднородная, имеет единственное решение , так что является определенной. Система имеет более одного решения. Например, ее решениями являются значения: ; ; . Такая система называется неопределенной. Система не имеет ни одного решения. Такая система называется несовместной.
Исследование линейных систем начнем с решения квадратных систем. Введем предварительно необходимые определения. Если определитель матрицы не равен нулю, то такие матрицы будем именовать неособенными или невырожденными. Если же определитель матрицы равен нулю, то такую матрицу будем называть особенной или вырожденной.
Матрицу называют обратной к , если удовлетворяет условиям
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ И ИХ СВОЙСТВА
Определители вводятся только для квадратных матриц как некоторое правило, формирующее значение определителя по элементам матрицы. Если элементы матрицы числа, то определитель будет
Доказательство.
Докажем, что условие , является достаточным условием для существования обратной матрицы. На главно
Теорема Крамера.
Если в квадратной системе уравнений определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится либо матричным способомпо формуле
Доказательство.
В соответствии с теоремой о существовании и единственности обратной матрицы, для невырожденной матрицы коэффициентов нашей системы существует единственная обратная матрица
Теорема (о линейных свойствах координат векторов).
При сложении любых двух векторов их координаты в данном базисе складываются, а при умножении любого вектора на любое число координаты умножаются на это число.
Доказательство
Доказательство.
По определению базиса это означает, что любая строка или столбец матрицы могут быть представлены в виде линейной комбинации базисных строк или базисных столбцов, причем единственным образом. Все ра
Доказательство.
Покажем достаточность условия второго следствия. Если строки матрицы линейно зависимы, то по свойству системы зависимых векторов одна из строк является линейной комбинацией остальн
Теорема (о приведении к ступенчатой матрице).
Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице, выполнив конечное число элементарных преобразований.
Теорема доказывается конструктивно путем перебора конечного числа возможных
Теорема (о ранге ступенчатой матрицы).
Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Доказательство.Ненулевые, ступенчатые строки линейно независимы, что можно показать, составив линейную комб
Теорема (о равносильных переходах).
Любое конечное число элементарных преобразований системы переводят ее в систему, равносильную исходной системе.
Доказательство теоремы следует непосредственно из оп
Доказательство.
Ранг матрицы коэффициентов системы по определению всегда меньше или равен числа уравнений или числа неизвестных исх
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Под векторной алгеброй обычно понимают раздел линейной алгебры, изучающий геометрические векторы на плоскости и реальном пространстве. В математике и ее приложениях встречаются разл
Евклидовы пространства.
Определение.Скалярным произведением двух любых векторов линейного пространства называется правило, по которому каждой упорядоченной паре векторов
Теорема (основные свойства ортонормированного базиса).
1. Координаты произвольного вектора в ортонормированном базисе равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие векторы этого базиса.
2. Скалярное произведение двух
Определение.
Каноническим базисом в пространстве трехмерных геометрических векторов называют векторы
Новости и инфо для студентов