рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Доказательство.

Доказательство. - раздел Математика, Линейная алгебра В Соответствии С Теоремой О Существовании И Единственности Обратной Матрицы, ...

В соответствии с теоремой о существовании и единственности обратной матрицы, для невырожденной матрицы коэффициентов нашей системы существует единственная обратная матрица . Умножая нашу систему, имеющую в матричной форме вид , слева на обратную матрицу , получим: .

Таким образом, доказано, что матричным способом вектор – столбец решений находится в единственном виде по формуле .

Если далее формулу представить в покомпонентной записи, то для компонент вектора неизвестных будем иметь формулы

,,

так как суммы в круглых скобках представляют собой разложения определителей по -тым столбцам матриц .

Таким образом, теорема Крамера полностью доказана.

Решим для примера следующую систему уравнений:

Матрица коэффициентов этой системы неособенная, так как . Присоединенная матрица имеет вид . Отсюда , ,

 

т. е. .

Если ту же систему уравнений решать с помощью формул Крамера, то:

,

,

.

Отметим, что в нашем примере мы находили определители в числителях формул Крамера, используя разложения по столбцам свободных членов. Однако, как следует из теоремы о разложении определителя по любым строкам или столбцам, можно было выбрать любые удобные строки или столбцы.

Для исследования и решения систем линейных уравнений в общем виде введем предварительно понятие о ранге матрицы.

Пусть в матрице размера произвольно выбраны строк и столбцов. Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка , определитель которой называется минором порядка матрицы .

Базисным минором произвольной матрицы размера называют любой ее минор порядка , если он отличен от нуля, а все миноры порядка либо равны нулю, либо не существуют (выходят за размеры исходной матрицы ). Порядок базисного минора называется рангом матрицы и обозначается .

Строки и столбцы, на пересечении которых находится базисный минор, называются базисными строками и базисными столбцами.

Отметим, что у матрицы может быть несколько базисных миноров, причем каждому из них соответствуют свои базисные строки и столбцы. Если матрица является квадратной порядка и невырожденной, то по определению ее ранг равен числу , то есть , так как определитель порядка отличен от нуля, а других определителей более высокого порядка не существует. Все строки и все столбцы такой матрицы являются базисными.

Если размеры матрицы не очень большие, то ранг матрицы вычисляют, пользуясь методом окаймляющих миноров.

Пусть в матрице найден некоторый минор порядка , отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры порядка , которые содержат в себе (окаймляют) выделенный минор. Если все окаймляющие миноры равны нулю, то ранг матрицы равен . Если же среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор порядка , то процедура повторяется, пока ранг не будет найден.

Пример.Найдем методом окаймляющих миноров ранг следующей матрицы

.

Фиксируем минор порядка два, отличный от нуля, , стоящий в первых двух строках, и в третьем и четвертом столбцах матрицы.

Минор порядка три, стоящий в левом верхнем углу, окаймляет предшествующий минор и также отличен от нуля. Однако, оба возможных окаймляющих минора порядка четыре равны нулю:

.

Таким образом, ранг матрицы найден по методу окаймляющих миноров и равен трем.

Рассмотрим далее основополагающие в линейной алгебре понятие о линейной зависимости и независимости векторов, а также определение базиса системы векторов.

Любую конечную последовательность векторов будем называть системой векторов, а любую ее подпоследовательность – подсистемой векторов. Линейной комбинацией векторов назовем вектор , равный сумме произведений произвольных чисел на векторы системы, т.е. .

Система векторов называется линейно независимой, если их линейная комбинация равна нулевому вектору только в том случае, когда все числа равны нулю. В обратном случае система векторов называется линейно зависимой. Отсюда, система векторов является линейно зависимой в том случае, когда линейная комбинация векторов равна нулевому вектору, а хотя бы один числовой коэффициент отличен от нуля.

Линейная зависимость и независимость есть свойства системы векторов. Однако часто соответствующие прилагательные относят и к самим векторам. Поэтому вместо «линейно независимая система векторов» допустимо говорить «линейно независимые векторы».

Например, двумерные арифметические векторы и линейно независимы. Их линейная комбинация равна вектору , который обращается в нулевой вектор только тогда, когда и .

Если взять векторы и , то они являются линейно зависимыми, так как их линейная комбинация равна нулевому вектору при и , не равных нулю.

Из определения линейной зависимости (независимости) системы векторов вытекают следующие утверждения.

1) Если некоторая система векторов содержит нулевой вектор, то она является линейно зависимой.

Пусть для определенности первый вектор системы является нулевым, т.е.

Тогда линейная комбинация векторов вида равна нулевому вектору, что и доказывает наше утверждение.

2) Если среди векторов системы есть такие, которые сами образуют линейно зависимую подсистему, то вся система также линейно зависима.

Так как исходная подсистема линейно зависима, то среди коэффициентов линейной комбинации векторов подсистемы имеется хотя бы один отличный от нуля. Добавим к этой линейной комбинацию линейную комбинацию векторов, не вошедших в исходную подсистему, с числовыми коэффициентами, равными нулю. Мы получим линейную комбинацию из векторов полной системы, которая равна нулевому вектору, причем имеется хотя бы один коэффициент отличный от нуля. Таким образом, наше утверждение доказано.

3) Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема также линейно независима.

Если предположить обратное, т.е. существование некоторой линейно зависимой подсистемы, то по предыдущему утверждению отсюда следует зависимость исходной системы, что противоречит условию доказываемой теоремы. Полученное противоречие доказывает сформулированное утверждение.

4) Для того чтобы система из ненулевых векторов была линейно зависима необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из векторов системы мог быть представлен как линейная комбинация предшествующих векторов.

Необходимость.Пусть система векторов линейно зависима. Тогда равенство выполняется при том условии, что хотя бы одно из чисел в левой части равенства отлично от нуля. Будем перебирать эти числа, начиная с большего номера, и остановимся на некотором номере таком, что соответствующий коэффициент отличен от нуля, т.е. . Номер не может быть равен единице, так как иначе из условий и теоремы о нулевом произведении следовало бы равенство , что противоречит правилу выбора номера и условию теоремы. Таким образом , и справедливо равенство. Отсюда находим вектор таким образом, чтобы он является линейной комбинацией предшествующих ему векторов, а именно .

Достаточность.Пусть имеется некоторый вектор , который представлен в виде линейной комбинации предшествующих ему векторов . Тогда выполняется условие , что по определению означает линейную независимость исходной системы векторов.

По аналогичной схеме доказывается следующее утверждение.

5) Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов системы может быть представлен в виде линейной комбинации остальных векторов.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Линейная алгебра

На сайте allrefs.net читайте: "Линейная алгебра"

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Доказательство.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Множество элементов любой природы называется линейным или векторным пространством, а его элементы

Множество числовых функций.
Рассмотрим множество числовых функций, определенных на некотором промежутке. Любым двум функциям и

Множество всех полиномов степени не выше .
Элементами множества являются полиномы вида

Теорема (о существовании и единственности разности элементов).
Для любых двух векторов линейного пространства, существует такой единственный вектор

Теорема (об условиях равенства нулю произведения числа на вектор).
Произведение числа на вектор равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда число равно нулю или вектор равен нулевому вектору. Доказательство.Пусть число

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ И ИХ СВОЙСТВА
  Определители вводятся только для квадратных матриц как некоторое правило, формирующее значение определителя по элементам матрицы. Если элементы матрицы числа, то определитель будет

Теорема (о разложении определителя по любой строке или столбцу).
Определитель порядка равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на соответствующие алгебраи

Доказательство.
Напишем формулу разложения определителя по первой строке   . Вид этой формулы не за

Теорема (об определителе произведения двух матриц).
Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей матриц сомножителей . Теоре

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Общая система из линейных алгебраических уравнений с

Теорема (о существовании и единственности обратной матрицы).
Любая квадратная матрица имеет единственную обратную матрицу, вычисляемую по формуле , тогда и только тогда, ког

Доказательство.
Докажем, что условие , является достаточным условием для существования обратной матрицы. На главно

Теорема Крамера.
Если в квадратной системе уравнений определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится либо матричным способомпо формуле

Базис множества векторов и всего линейного пространства.
Система векторов называется ба

Теорема (о единственности разложения по данному базису).
Разложение любого вектора по базису

Теорема (о линейных свойствах координат векторов).
При сложении любых двух векторов их координаты в данном базисе складываются, а при умножении любого вектора на любое число координаты умножаются на это число. Доказательство

Доказательство.
По определению базиса это означает, что любая строка или столбец матрицы могут быть представлены в виде линейной комбинации базисных строк или базисных столбцов, причем единственным образом. Все ра

Доказательство.
Покажем достаточность условия второго следствия. Если строки матрицы линейно зависимы, то по свойству системы зависимых векторов одна из строк является линейной комбинацией остальн

Теорема (о приведении к ступенчатой матрице).
Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице, выполнив конечное число элементарных преобразований. Теорема доказывается конструктивно путем перебора конечного числа возможных

Теорема (о ранге ступенчатой матрицы).
Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк. Доказательство.Ненулевые, ступенчатые строки линейно независимы, что можно показать, составив линейную комб

Теорема (о равносильных переходах).
Любое конечное число элементарных преобразований системы переводят ее в систему, равносильную исходной системе. Доказательство теоремы следует непосредственно из оп

Доказательство.
Ранг матрицы коэффициентов системы по определению всегда меньше или равен числа уравнений или числа неизвестных исх

Исследование и решение однородных систем уравнений.
Однородная система всегда совместна, так как имеет нулевое (тривиальное) решение

Доказательство.
Необходимость.Пусть есть конечномерное пространство размерности

Теорема (о виде общего решения неоднородной системы уравнений).
Решение неоднородной системы уравнений всегда может быть представлено как сумма общего решения соответствующей

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
  Под векторной алгеброй обычно понимают раздел линейной алгебры, изучающий геометрические векторы на плоскости и реальном пространстве. В математике и ее приложениях встречаются разл

Евклидовы пространства.
Определение.Скалярным произведением двух любых векторов линейного пространства называется правило, по которому каждой упорядоченной паре векторов

Теорема (неравенство Коши – Буняковского ).
Для любых двух векторов и е

Доказательство.
Пусть есть ортогональная система ненулевых векторов евклидова пространства. Предположим, что выполняется ра

Теорема Грама-Шмидта (о существовании ортонормированного базиса).
Во всяком -мерном евкли

Теорема (основные свойства ортонормированного базиса).
1. Координаты произвольного вектора в ортонормированном базисе равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие векторы этого базиса. 2. Скалярное произведение двух

Определение.
Каноническим базисом в пространстве трехмерных геометрических векторов называют векторы

Векторное и смешанное векторно-скалярное произведения.
Определение.Векторным произведением двух геометрических векторов и

Теорема (условие равенства векторного произведения нулевому вектору).
Векторное произведение двух геометрических векторов и

Теорема (о модуле векторного произведения ).
Модуль векторного произведения двух векторов и

Таким образом, смешанное произведение трех компланарных (лежащих в одной плоскости) векторов равно нулю.
Рассмотрим далее скалярное произведение вектора на вектор

Линейные геометрические объекты.
Определение.Пусть есть некоторый ненулевой вектор, а

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги