При сложении любых двух векторов их координаты в данном базисе складываются, а при умножении любого вектора на любое число координаты умножаются на это число.
Доказательство.Пусть любые два вектора имеют в базисе разложения , . Из аксиом линейного пространства следует, что сумма векторов и произведение вектора на число представимы в виде , .
Отсюда и теоремы о единственности разложения векторов по данному базису следует истинность доказываемой теоремы.