Теорема (о ранге ступенчатой матрицы).

Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.

Доказательство.Ненулевые, ступенчатые строки линейно независимы, что можно показать, составив линейную комбинацию этих строк и приравняв ее нулевой строке. Покомпонентный анализ этой линейной комбинации показывает, что все числовые коэффициенты при строках, начиная с первой, последовательно обращаются в нули. По определению это означает линейную независимость ненулевых строк. Остальные строки ступенчатой матрицы нулевые, а добавление нулевой строки в систему ненулевых строк превращает новую систему в зависимую систему. Поэтому только ненулевые строки линейно независимы. По следствию 1 теоремы о базисном миноре это означает, что ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк, что и требовалось доказать.