Доказательство. - раздел Математика, Линейная алгебра Необходимость.Пусть ...
Необходимость.Пусть есть конечномерное пространство размерности , есть произвольная линейно независимая система векторов из этого пространства, а есть любой вектор из . По определению базиса достаточно показать, что вектор может быть разложен по векторам этой системы. Согласно определению размерности линейного пространства система, содержащая вектор, линейно зависима.
Тогда по определению линейной зависимости векторов справедливо равенство , причем среди коэффициентов линейной комбинации в правой части равенства имеется хотя бы один не равный нулю. Коэффициент не может быть равен нулю, так как в обратном случае получается, что векторы являются линейно зависимыми. Поэтому можно разделить полученное равенство на и получить разложение вектора ввиде:. Таким образом, мы получили, что векторы образуют базис пространства - мерного линейного пространства, что и требовалось доказать.
Достаточность. Пусть векторы образуют базис некоторого линейного пространства. По определению размерности пространства требуется доказать, что любая система , содержащая вектор, линейно зависима.
Разложим эти векторы по исходному базису в следующем виде:
Далее составим линейную комбинацию векторов с коэффициентами в виде , приравняем ее нулевому вектору и сгруппируем коэффициенты при каждом из векторов :
=
Так как векторы линейно независимы, то коэффициенты при каждом из них в нашем равенстве должны быть равны нулю. Отсюда, получается линейная, однородная система из уравнений относительно коэффициентов в следующем виде:
Однородная система уравнений имеет нетривиальное решение, если ранг матрицы коэффициентов строго меньше числа неизвестных. В нашем случае матрица коэффициентов имеет размеры , а ранг любой матрицы всегда меньше наибольшего из ее размеров, так что . Таким образом, среди наборов чисел всегда имеется хотя бы один отличный от нулевого, что и доказывает достаточность условия теоремы.
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Доказательство.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ И ИХ СВОЙСТВА
Определители вводятся только для квадратных матриц как некоторое правило, формирующее значение определителя по элементам матрицы. Если элементы матрицы числа, то определитель будет
Доказательство.
Докажем, что условие , является достаточным условием для существования обратной матрицы. На главно
Теорема Крамера.
Если в квадратной системе уравнений определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится либо матричным способомпо формуле
Доказательство.
В соответствии с теоремой о существовании и единственности обратной матрицы, для невырожденной матрицы коэффициентов нашей системы существует единственная обратная матрица
Теорема (о линейных свойствах координат векторов).
При сложении любых двух векторов их координаты в данном базисе складываются, а при умножении любого вектора на любое число координаты умножаются на это число.
Доказательство
Доказательство.
По определению базиса это означает, что любая строка или столбец матрицы могут быть представлены в виде линейной комбинации базисных строк или базисных столбцов, причем единственным образом. Все ра
Доказательство.
Покажем достаточность условия второго следствия. Если строки матрицы линейно зависимы, то по свойству системы зависимых векторов одна из строк является линейной комбинацией остальн
Теорема (о приведении к ступенчатой матрице).
Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице, выполнив конечное число элементарных преобразований.
Теорема доказывается конструктивно путем перебора конечного числа возможных
Теорема (о ранге ступенчатой матрицы).
Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Доказательство.Ненулевые, ступенчатые строки линейно независимы, что можно показать, составив линейную комб
Теорема (о равносильных переходах).
Любое конечное число элементарных преобразований системы переводят ее в систему, равносильную исходной системе.
Доказательство теоремы следует непосредственно из оп
Доказательство.
Ранг матрицы коэффициентов системы по определению всегда меньше или равен числа уравнений или числа неизвестных исх
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Под векторной алгеброй обычно понимают раздел линейной алгебры, изучающий геометрические векторы на плоскости и реальном пространстве. В математике и ее приложениях встречаются разл
Евклидовы пространства.
Определение.Скалярным произведением двух любых векторов линейного пространства называется правило, по которому каждой упорядоченной паре векторов
Теорема (основные свойства ортонормированного базиса).
1. Координаты произвольного вектора в ортонормированном базисе равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие векторы этого базиса.
2. Скалярное произведение двух
Определение.
Каноническим базисом в пространстве трехмерных геометрических векторов называют векторы
Новости и инфо для студентов