ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел Математика, Линейная алгебра
Под Векторной Алгеброй Обычно Понимают Раздел Линейной Алгебр...
Под векторной алгеброй обычно понимают раздел линейной алгебры, изучающий геометрические векторы на плоскости и реальном пространстве. В математике и ее приложениях встречаются различные величины. Некоторые из них (длина, площадь, объем, масса тела) полностью определяются вещественным числом. Такие величины называют скалярными величинами или скалярами. Для определения других величин необходимо указать не только числовое значение, но и присущее им направление. К таким величинам относятся сила, скорость, ускорение и так далее. Такого рода величины в математике моделируются направленными отрезками и геометрическими векторами.
В данном разделе изучаются геометрические векторы на плоскости и реальном пространстве. Предварительно приведем необходимые определения и теоремы, справедливые для любых линейных пространств.
Определение.Два линейных пространства и называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, согласованное с основными операциями в этих пространствах, таким образом, что если два любых элемента из преобразуются в из , то их сумма преобразуется в , а произведение любого числа на вектор преобразуется в .
По существу, два изоморфных пространства ничем не отличаются друг от друга. Для конечномерных пространств этот факт устанавливается следующей теоремой.
Доказательство. Как следует из определения изоморфизма, необходимо вначале установить взаимно однозначное соответствие между векторами из и . Зафиксируем какой- либо базис в пространстве , например , и разложим произвольный вектор из по этому базису: . Вектору из поставим в соответствие арифметический вектор из . Обратно, каждому арифметическому вектору из поставим в соответствие вектор из с координатами в базисе . В силу единственности разложения вектора по базису, векторы и совпадают, т.е. взаимно однозначное соответствие установлено.
Согласованность операций сложения векторов и умножения вектора на число с данным соответствием проверяется непосредственно по теореме о свойствах координат вектора.
Поскольку при доказательстве теоремы пространство было выбрано произвольно, то и любые два пространства одинаковой размерности изоморфны между собой. Отсюда следует очень важный вывод о том, что для изучения свойств любых конечномерных пространств достаточно рассмотреть соответствующее арифметическое пространство .
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ И ИХ СВОЙСТВА
Определители вводятся только для квадратных матриц как некоторое правило, формирующее значение определителя по элементам матрицы. Если элементы матрицы числа, то определитель будет
Доказательство.
Докажем, что условие , является достаточным условием для существования обратной матрицы. На главно
Теорема Крамера.
Если в квадратной системе уравнений определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится либо матричным способомпо формуле
Доказательство.
В соответствии с теоремой о существовании и единственности обратной матрицы, для невырожденной матрицы коэффициентов нашей системы существует единственная обратная матрица
Теорема (о линейных свойствах координат векторов).
При сложении любых двух векторов их координаты в данном базисе складываются, а при умножении любого вектора на любое число координаты умножаются на это число.
Доказательство
Доказательство.
По определению базиса это означает, что любая строка или столбец матрицы могут быть представлены в виде линейной комбинации базисных строк или базисных столбцов, причем единственным образом. Все ра
Доказательство.
Покажем достаточность условия второго следствия. Если строки матрицы линейно зависимы, то по свойству системы зависимых векторов одна из строк является линейной комбинацией остальн
Теорема (о приведении к ступенчатой матрице).
Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице, выполнив конечное число элементарных преобразований.
Теорема доказывается конструктивно путем перебора конечного числа возможных
Теорема (о ранге ступенчатой матрицы).
Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Доказательство.Ненулевые, ступенчатые строки линейно независимы, что можно показать, составив линейную комб
Теорема (о равносильных переходах).
Любое конечное число элементарных преобразований системы переводят ее в систему, равносильную исходной системе.
Доказательство теоремы следует непосредственно из оп
Доказательство.
Ранг матрицы коэффициентов системы по определению всегда меньше или равен числа уравнений или числа неизвестных исх
Евклидовы пространства.
Определение.Скалярным произведением двух любых векторов линейного пространства называется правило, по которому каждой упорядоченной паре векторов
Теорема (основные свойства ортонормированного базиса).
1. Координаты произвольного вектора в ортонормированном базисе равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие векторы этого базиса.
2. Скалярное произведение двух
Определение.
Каноническим базисом в пространстве трехмерных геометрических векторов называют векторы
Новости и инфо для студентов