Определение.Скалярным произведением двух любых векторов линейного пространства называется правило, по которому каждой упорядоченной паре векторов из ставится в соответствие вещественное число. Скалярное произведение обычно обозначают Скалярное произведение должно удовлетворять следующим четырем аксиомам:
Е1.
Е2.
Е3.
Е4. причем тогда и только тогда, когда
Линейное пространство называется евклидовым пространством, если в нем введено скалярное произведение. В дальнейшем рассматриваются только вещественные евклидовы пространства, т.е. числа будут только вещественными.
Укажем простейшие следствия аксиом Е1 – Е4.
1.
2.
3.
4.
Рассмотрим вещественное арифметическое пространство . Для любых двух векторов этого пространства и определим их скалярное произведение по правилу: . Введенное таким образом правило удовлетворяет четырем аксиомам скалярного произведения, что непосредственно следует из соответствующих свойств вещественных чисел.