Теорема (неравенство Коши – Буняковского ). - раздел Математика, Линейная алгебра Для Любых Двух Векторов ...
Для любых двух векторов и евклидова пространства справедливо неравенство , называемое неравенством Коши – Буняковского.
Доказательство.Если хотя бы один из двух векторов инулевой, то доказываемое неравенство превращается в равенство и является справедливым.
Рассмотрим далее случай, когда оба вектора ,отличны от нулевого вектора. В силу аксиомы Е4 справедливо неравенство для любого вещественного числа . На основании аксиом Е1 – Е3 это неравенство можно переписать в следующем виде . Полученное квадратное неравенство относительно параметра при положительном значении коэффициента выполняется тогда и только тогда, когда дискриминант соответствующего квадратного уравнения меньше или равен нулю. Таким образом, , откуда и следует доказательство справедливости неравенства Коши – Буняковского.
После того, как в линейном пространстве введено скалярное произведение, можно определить такие метрические понятия как длина вектора и угол между векторами.
Определение.Длина (модуль) любого вектора в евклидовом пространстве определяется как арифметическое значение корня из скалярного произведения и обозначается . Таким образом, .
Длина вектора равна нулю тогда и только тогда, когда вектор нулевой вектор.
Вектор , длина которого равна единице, называется нормированным, единичным или ортом.Переход от вектора к вектору называют нормированием вектора .
Определение.Компоненты любого нормированного вектора в евклидовом пространстве называют направляющими косинусами.
Любой ненулевой вектор можно нормировать, умножив его на величину обратную его модулю. Действительно,
В евклидовом пространстве арифметических векторов длина любого вектора из этого пространства вычисляется по формуле .
Пример.Пусть задан трехмерный арифметический вектор Длина вектора вычисляется по определяющей формуле Орт вектора имеет вид . Соответственно, направляющие косинусы вектора равны Если вектор изображается в декартовой прямоугольной системе координат , то по направляющим косинусам можно найти и изобразить углы между вектором и осями .
Следствие (неравенство треугольника).Для любых векторови евклидова пространства выполняется неравенство . Действительно,
.
Отсюда, , что и требовалось доказать.
В реальном пространстве это неравенство означает, что длина одной из сторон треугольника, меньше суммы длин двух других его сторон.
Определение.Углом между любыми ненулевыми векторамии евклидова пространства называется уголиз диапазона , косинус которого определяется по формуле . Таким образом, .
При этом из неравенства Коши – Буняковского, представленного в виде , следует, что вычисляемое по формуле значение косинуса угла удовлетворяет необходимому для любого косинуса угла условию
Определение. Любые векторыи евклидова пространства называют ортогональными и обозначают как , если их скалярное произведение равно нулю.
Как следует из сформулированных определений, наименьший угол между ортогональными векторами в реальном пространстве равен девяносто градусов.
Следствие (теорема косинусов).Для любых ненулевых векторови евклидова пространства выполняется равенство .
Действительно, .
Следствие (теорема Пифагора).Для любых ненулевых ортогональных векторови евклидова пространства выполняется равенство .
В реальном пространстве это равенство означает, что квадрат длины гипотенузы треугольника, равен сумме квадратов длин катетов.
Определение.Система векторов евклидова пространства называется ортогональной, если скалярное произведение любой пары векторов системы равно нулю.
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Теорема (неравенство Коши – Буняковского ).
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ И ИХ СВОЙСТВА
Определители вводятся только для квадратных матриц как некоторое правило, формирующее значение определителя по элементам матрицы. Если элементы матрицы числа, то определитель будет
Доказательство.
Докажем, что условие , является достаточным условием для существования обратной матрицы. На главно
Теорема Крамера.
Если в квадратной системе уравнений определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится либо матричным способомпо формуле
Доказательство.
В соответствии с теоремой о существовании и единственности обратной матрицы, для невырожденной матрицы коэффициентов нашей системы существует единственная обратная матрица
Теорема (о линейных свойствах координат векторов).
При сложении любых двух векторов их координаты в данном базисе складываются, а при умножении любого вектора на любое число координаты умножаются на это число.
Доказательство
Доказательство.
По определению базиса это означает, что любая строка или столбец матрицы могут быть представлены в виде линейной комбинации базисных строк или базисных столбцов, причем единственным образом. Все ра
Доказательство.
Покажем достаточность условия второго следствия. Если строки матрицы линейно зависимы, то по свойству системы зависимых векторов одна из строк является линейной комбинацией остальн
Теорема (о приведении к ступенчатой матрице).
Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице, выполнив конечное число элементарных преобразований.
Теорема доказывается конструктивно путем перебора конечного числа возможных
Теорема (о ранге ступенчатой матрицы).
Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Доказательство.Ненулевые, ступенчатые строки линейно независимы, что можно показать, составив линейную комб
Теорема (о равносильных переходах).
Любое конечное число элементарных преобразований системы переводят ее в систему, равносильную исходной системе.
Доказательство теоремы следует непосредственно из оп
Доказательство.
Ранг матрицы коэффициентов системы по определению всегда меньше или равен числа уравнений или числа неизвестных исх
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Под векторной алгеброй обычно понимают раздел линейной алгебры, изучающий геометрические векторы на плоскости и реальном пространстве. В математике и ее приложениях встречаются разл
Евклидовы пространства.
Определение.Скалярным произведением двух любых векторов линейного пространства называется правило, по которому каждой упорядоченной паре векторов
Доказательство.
Пусть есть ортогональная система ненулевых векторов евклидова пространства. Предположим, что выполняется ра
Теорема (основные свойства ортонормированного базиса).
1. Координаты произвольного вектора в ортонормированном базисе равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие векторы этого базиса.
2. Скалярное произведение двух
Определение.
Каноническим базисом в пространстве трехмерных геометрических векторов называют векторы
и 
евклидова пространства справедливо неравенство 
, называемое неравенством Коши – Буняковского.
для любого вещественного числа 
. На основании аксиом Е1 – Е3 это неравенство можно переписать в следующем виде 
. Полученное квадратное неравенство относительно параметра 
выполняется тогда и только тогда, когда дискриминант соответствующего квадратного уравнения меньше или равен нулю. Таким образом, 
, откуда и следует доказательство справедливости неравенства Коши – Буняковского.
и обозначается 
. Таким образом, 
.
, длина которого равна единице, называется нормированным, единичным или ортом.Переход от вектора 
называют нормированием вектора 
длина любого вектора 
из этого пространства вычисляется по формуле 
.
Длина вектора 
Орт вектора 
имеет вид 
. Соответственно, направляющие косинусы вектора 
Если вектор 
, то по направляющим косинусам можно найти и изобразить углы между вектором 
.
. Действительно,
.
, что и требовалось доказать.
из диапазона 
, косинус которого определяется по формуле 
. Таким образом, 
.
, следует, что вычисляемое по формуле значение косинуса угла удовлетворяет необходимому для любого косинуса угла условию 
, если их скалярное произведение равно нулю.
. 
.
.
евклидова пространства называется ортогональной, если скалярное произведение любой пары векторов системы равно нулю.
Новости и инфо для студентов