Теорема (неравенство Коши – Буняковского ).

Для любых двух векторов и евклидова пространства справедливо неравенство , называемое неравенством Коши – Буняковского.

Доказательство.Если хотя бы один из двух векторов и нулевой, то доказываемое неравенство превращается в равенство и является справедливым.

Рассмотрим далее случай, когда оба вектора , отличны от нулевого вектора. В силу аксиомы Е4 справедливо неравенство для любого вещественного числа . На основании аксиом Е1 – Е3 это неравенство можно переписать в следующем виде . Полученное квадратное неравенство относительно параметра при положительном значении коэффициента выполняется тогда и только тогда, когда дискриминант соответствующего квадратного уравнения меньше или равен нулю. Таким образом, , откуда и следует доказательство справедливости неравенства Коши – Буняковского.

После того, как в линейном пространстве введено скалярное произведение, можно определить такие метрические понятия как длина вектора и угол между векторами.

Определение. Длина (модуль) любого вектора в евклидовом пространстве определяется как арифметическое значение корня из скалярного произведения и обозначается . Таким образом, .

Длина вектора равна нулю тогда и только тогда, когда вектор нулевой вектор.

Вектор , длина которого равна единице, называется нормированным, единичным или ортом.Переход от вектора к вектору называют нормированием вектора .

Определение. Компоненты любого нормированного вектора в евклидовом пространстве называют направляющими косинусами.

Любой ненулевой вектор можно нормировать, умножив его на величину обратную его модулю. Действительно,

В евклидовом пространстве арифметических векторов длина любого вектора из этого пространства вычисляется по формуле .

Пример.Пусть задан трехмерный арифметический вектор Длина вектора вычисляется по определяющей формуле Орт вектора имеет вид . Соответственно, направляющие косинусы вектора равны Если вектор изображается в декартовой прямоугольной системе координат , то по направляющим косинусам можно найти и изобразить углы между вектором и осями .

Следствие (неравенство треугольника).Для любых векторови евклидова пространства выполняется неравенство . Действительно,

.

Отсюда, , что и требовалось доказать.

В реальном пространстве это неравенство означает, что длина одной из сторон треугольника, меньше суммы длин двух других его сторон.

Определение. Углом между любыми ненулевыми векторамии евклидова пространства называется угол из диапазона , косинус которого определяется по формуле . Таким образом, .

При этом из неравенства Коши – Буняковского, представленного в виде , следует, что вычисляемое по формуле значение косинуса угла удовлетворяет необходимому для любого косинуса угла условию

Определение. Любые векторыи евклидова пространства называют ортогональными и обозначают как , если их скалярное произведение равно нулю.

Как следует из сформулированных определений, наименьший угол между ортогональными векторами в реальном пространстве равен девяносто градусов.

Следствие (теорема косинусов).Для любых ненулевых векторови евклидова пространства выполняется равенство .

Действительно, .

Следствие (теорема Пифагора).Для любых ненулевых ортогональных векторови евклидова пространства выполняется равенство .

В реальном пространстве это равенство означает, что квадрат длины гипотенузы треугольника, равен сумме квадратов длин катетов.

Определение.Система векторов евклидова пространства называется ортогональной, если скалярное произведение любой пары векторов системы равно нулю.