Множество всех полиномов степени не выше .

Элементами множества являются полиномы вида , причем старшая степень может изменяться от нуля до .Сумма двух любых полиномов из множества и произведение любого полинома на число также принадлежат исходному множеству .Аксиомы выполняются для таких полиномов, что проверяется непосредственно. Роль нулевого полинома играет полином, у которого все коэффициенты равны нулю, а противоположным элементом для любого полинома служит . Множество будет вещественным или комплексным линейным пространством в зависимости от того, рассматриваем ли мы полиномы с вещественными или комплексными коэффициентами. Заметим, что множество всех полиномов степени, точно равной натуральному числу ,не образуют линейное пространство, так как сумма двух таких полиномов может оказаться со степенью меньшей ,и операция суммирования выводит нас за рамки исходного множества, что недопустимо по определению линейного пространства.

Например, и полиномы второй степени, а их сумма является полиномом первой степени.

Из аксиом, определяющих линейное пространство, можно в качестве логических следствий получить ряд утверждений, справедливых для любых линейных пространств.

Определение. Вектор , удовлетворяющий уравнению для любых из , называют разностью векторов и, и обозначают . Операцию, которая ставит в соответствие любым двум элементам из третий элемент из , называют вычитанием.

Для того, чтобы введенное определение было корректным, необходимо доказать теорему о существовании и единственности решения уравнения .