Теорема Грама-Шмидта (о существовании ортонормированного базиса).

Все темы данного раздела:

ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Множество элементов любой природы называется линейным или векторным пространством, а его элементы

Множество числовых функций.
Рассмотрим множество числовых функций, определенных на некотором промежутке. Любым двум функциям и

Множество всех полиномов степени не выше .
Элементами множества являются полиномы вида

Теорема (о существовании и единственности разности элементов).
Для любых двух векторов линейного пространства, существует такой единственный вектор

Теорема (об условиях равенства нулю произведения числа на вектор).
Произведение числа на вектор равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда число равно нулю или вектор равен нулевому вектору. Доказательство.Пусть число

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ И ИХ СВОЙСТВА
  Определители вводятся только для квадратных матриц как некоторое правило, формирующее значение определителя по элементам матрицы. Если элементы матрицы числа, то определитель будет

Теорема (о разложении определителя по любой строке или столбцу).
Определитель порядка равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на соответствующие алгебраи

Доказательство.
Напишем формулу разложения определителя по первой строке   . Вид этой формулы не за

Теорема (об определителе произведения двух матриц).
Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей матриц сомножителей . Теоре

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Общая система из линейных алгебраических уравнений с

Теорема (о существовании и единственности обратной матрицы).
Любая квадратная матрица имеет единственную обратную матрицу, вычисляемую по формуле , тогда и только тогда, ког

Доказательство.
Докажем, что условие , является достаточным условием для существования обратной матрицы. На главно

Теорема Крамера.
Если в квадратной системе уравнений определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится либо матричным способомпо формуле

Доказательство.
В соответствии с теоремой о существовании и единственности обратной матрицы, для невырожденной матрицы коэффициентов нашей системы существует единственная обратная матрица

Базис множества векторов и всего линейного пространства.
Система векторов называется ба

Теорема (о единственности разложения по данному базису).
Разложение любого вектора по базису

Теорема (о линейных свойствах координат векторов).
При сложении любых двух векторов их координаты в данном базисе складываются, а при умножении любого вектора на любое число координаты умножаются на это число. Доказательство

Доказательство.
По определению базиса это означает, что любая строка или столбец матрицы могут быть представлены в виде линейной комбинации базисных строк или базисных столбцов, причем единственным образом. Все ра

Доказательство.
Покажем достаточность условия второго следствия. Если строки матрицы линейно зависимы, то по свойству системы зависимых векторов одна из строк является линейной комбинацией остальн

Теорема (о приведении к ступенчатой матрице).
Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице, выполнив конечное число элементарных преобразований. Теорема доказывается конструктивно путем перебора конечного числа возможных

Теорема (о ранге ступенчатой матрицы).
Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк. Доказательство.Ненулевые, ступенчатые строки линейно независимы, что можно показать, составив линейную комб

Теорема (о равносильных переходах).
Любое конечное число элементарных преобразований системы переводят ее в систему, равносильную исходной системе. Доказательство теоремы следует непосредственно из оп

Доказательство.
Ранг матрицы коэффициентов системы по определению всегда меньше или равен числа уравнений или числа неизвестных исх

Исследование и решение однородных систем уравнений.
Однородная система всегда совместна, так как имеет нулевое (тривиальное) решение

Доказательство.
Необходимость.Пусть есть конечномерное пространство размерности

Теорема (о виде общего решения неоднородной системы уравнений).
Решение неоднородной системы уравнений всегда может быть представлено как сумма общего решения соответствующей

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
  Под векторной алгеброй обычно понимают раздел линейной алгебры, изучающий геометрические векторы на плоскости и реальном пространстве. В математике и ее приложениях встречаются разл

Евклидовы пространства.
Определение.Скалярным произведением двух любых векторов линейного пространства называется правило, по которому каждой упорядоченной паре векторов

Теорема (неравенство Коши – Буняковского ).
Для любых двух векторов и е

Доказательство.
Пусть есть ортогональная система ненулевых векторов евклидова пространства. Предположим, что выполняется ра

Теорема (основные свойства ортонормированного базиса).
1. Координаты произвольного вектора в ортонормированном базисе равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие векторы этого базиса. 2. Скалярное произведение двух

Определение.
Каноническим базисом в пространстве трехмерных геометрических векторов называют векторы

Векторное и смешанное векторно-скалярное произведения.
Определение.Векторным произведением двух геометрических векторов и

Теорема (условие равенства векторного произведения нулевому вектору).
Векторное произведение двух геометрических векторов и

Теорема (о модуле векторного произведения ).
Модуль векторного произведения двух векторов и

Таким образом, смешанное произведение трех компланарных (лежащих в одной плоскости) векторов равно нулю.
Рассмотрим далее скалярное произведение вектора на вектор

Линейные геометрические объекты.
Определение.Пусть есть некоторый ненулевой вектор, а