Во всяком -мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис .
Доказательство.Согласно аксиоме размерности в пространстве имеется линейно независимая система из векторов . Покажем, что можно построить систему из векторов линейно выражающихся через векторы системы , и образующих ортонормированный базис.
Доказательство проведем по методу математической индукции.
1. При утверждение теоремы очевидно. Если есть ненулевой вектор, то один нормированный вектор образует ортонормированный базис.
2. Предположим, что в каждом - мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, и докажем то же утверждение для произвольного .
Пусть есть произвольный базис в пространстве . Линейная оболочка векторов системы представляет собой евклидово пространство размерности и, по предположению индукции, там существует ортонормированная система из векторов . Построим новый -тый вектор .
Коэффициенты выберем такими, чтобы новый вектор был ортогонален всем векторам системы . Так как система является ортонормированной, получим , откуда для всех .
Нормируем вектор , т.е. построим единичный вектор По построению вектор ортогонален векторам системы и имеет единичную длину. Таким образом, найдена ортонормированная система векторов , которая линейно независима и является базисом евклидова пространства . На этом завершается доказательство теоремы Грамма-Шмидта по методу математической индукции.
Конструктивный метод, с помощью которого был построен ортонормированный базис при доказательстве теоремы, называют методом ортогонализации Грама-Шмидта.
При практической реализации метода Грама-Шмидта, отправляясь от системы векторов , последовательно находят ортонормированные векторы в соответствии со следующим алгоритмом:
Отметим, что в каждом евклидовом пространстве существует бесконечно много ортонормированных базисов. Так, начиная процесс ортогонализации с любого ненулевого вектора, можно построить некоторый ортонормированный базис.