Модуль векторного произведения двух векторов и может вычисляться по формуле , где есть угол между векторами и . Если векторы , не являются коллинеарными, то модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах и .
Доказательство.Если векторы , являются коллинеарными, то их векторное произведение равно нулевому вектору, а модуль нулевого вектора равен нулю. Так как угол между коллинеарными векторами равен 0 или , то .
Таким образом, доказываемая формула справедлива для коллинеарных векторов.
Пусть векторы и не являются коллинеарными.
Обозначим направляющие косинусы вектора как Так как, по определению, направляющие косинусы есть компоненты орта вектора , то для них справедлива формула Компоненты вектора выражаются через модуль вектора и направляющие косинусы по формулам
Аналогично, обозначим направляющие косинусы вектора как Для них также справедлива формула Кроме того, выполняются равенства для компонент вектора в виде
Косинус угла между векторами и вычисляется как скалярное произведение между их ортами по формуле
Найдем далее квадрат модуля векторного произведения:
.
Отсюда следует , что и завершает доказательство первой части теоремы.
Если векторы , не являются коллинеарными, то на них можно построить параллелограмм. Площадь любого параллелограмм вычисляется как произведение длины основания параллелограмма на его высоту. В нашем случае длина основания равна , а высота равна . Таким образом, теорема полностью доказана.
Определение.Векторно-скалярным или смешанным произведением трех упорядоченных векторов , , в реальном пространстве называют число, найденное по правилу , где для первых двух векторов составляется векторное произведение, которое затем скалярно умножается на третий вектор.
Учитывая определения векторного и скалярного произведений, значение смешанного произведения вычисляют по формуле
Если векторы , , являются компланарными, то один из векторов, может быть представлен в виде линейной комбинации двух других. В этом случае одна из строк определителя смешанного произведения будет линейной комбинацией двух других строк. Как известно, значение такого определителя равно нулю.