Для любых двух векторов линейного пространства, существует такой единственный вектор из , что .
Доказательство.Покажем, что такой вектор существует. Возьмем и убедимся, что этот элемент удовлетворяет уравнению .
Действительно, .
Докажем, что этот вектор единственный. Возьмем другой вектор из , удовлетворяющий нашему уравнению , и выполним следующие преобразования:
.
Таким образом, любой вектор, удовлетворяющий определяющему уравнению, равен , что и доказывает единственность такого вектора.
Приведем еще, без подробного доказательства, несколько важных следствий из доказанной теоремы и аксиом линейного пространства.
1. Существует единственный нулевой элемент , равный для любого из что следует из аксиом и доказанной теоремы.
2.Существует единственный противоположный элемент , равный для любого из , что следует из аксиом и доказанной теоремы.
3. Соотношения или влекут равенство для любых из , что следует из аксиомы и доказанной теоремы.