Произведение числа на вектор равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда число равно нулю или вектор равен нулевому вектору.
Доказательство.Пусть число равно нулю или вектор является нулевым. Покажем, что . Пусть вначале . Справедливо . В силу единственности нулевого вектора отсюда следует . Если , то рассмотрим равенства . Снова, в силу единственности нулевого вектора, следует .
Обратно, пусть . Покажем, что или . Доказательство проведем методом от обратного. Предположим, что равенство истинно, а заключение или ложное, т.е. справедливо и . Тогда по предположению и уже доказанной первой части нашей теоремы получим .
С другой стороны, по нашему предположению и аксиомам имеем . Полученное противоречие доказывает вторую часть теоремы.
Из доказанных выше теорем выведем еще два следствия.
4.Для любого вектора из противоположный вектор равен .
Действительно, Отсюда, в силу единственности противоположного вектора, получаем доказательство следствия.
5. Для любого вектора противоположный вектор к противоположному равен исходному вектору, т.е. .
Действительно, , что и утверждается в следствии.