ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ И ИХ СВОЙСТВА - раздел Математика, Линейная алгебра
Определители Вводятся Только Для Квадратных Матриц Как Некото...
Определители вводятся только для квадратных матриц как некоторое правило, формирующее значение определителя по элементам матрицы. Если элементы матрицы числа, то определитель будет числом; если элементы матрицы функции, то и определитель будет функцией и так далее. Обозначается определитель любой квадратной матрицы одним из следующих символов . Определяющее правило составления определителя введем индуктивно, то есть будем выражать значение определителя матрицы размера (определитель порядка ) через определители меньших порядков.
Определитель матрицы положим равным элементу . Так, например, .
Определителем порядка назовем число, которое будем находить по правилу разложения по первой строке матрицы размера :
.
В этой и во всех последующих формулах минором элемента называется определитель порядка , полученный вычеркиванием из исходной матрицы строки с номером и столбца с номером . Отсюда определитель второго порядка находится по правилу
,
т. е. составляется разность произведений элементов, стоящих на главной диагонали, и элементов, стоящих на побочной диагонали.
Так , .
Определитель третьего порядка по общей формуле сначала выражается через определители второго порядка и далее определители первого порядка:
=
= =
= .
Если в последнем выражении определителя третьего порядка в одну группу собрать произведения со знаком плюс, а во вторую – произведения со знаком минус, то мы получим формулу раскрытия определителя по правилу Саррюса:
=
(определитель третьего порядка равен сумме произведений его элементов, находящихся на главной диагонали и в вершинах равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали, минус сумму произведений элементов, находящихся на побочной диагонали и в вершинах равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали).
Вычислим по правилу Саррюса следующий определитель третьего порядка
=
=.
В теории определителей важную роль играет следующая основная теорема, которую мы приводим без доказательства. Определим, предварительно, алгебраическое дополнение любого элемента по формуле
.
Как следует из определяющей формулы, алгебраическое дополнение может отличаться от минора только знаком.
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ И ИХ СВОЙСТВА
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Доказательство.
Докажем, что условие , является достаточным условием для существования обратной матрицы. На главно
Теорема Крамера.
Если в квадратной системе уравнений определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится либо матричным способомпо формуле
Доказательство.
В соответствии с теоремой о существовании и единственности обратной матрицы, для невырожденной матрицы коэффициентов нашей системы существует единственная обратная матрица
Теорема (о линейных свойствах координат векторов).
При сложении любых двух векторов их координаты в данном базисе складываются, а при умножении любого вектора на любое число координаты умножаются на это число.
Доказательство
Доказательство.
По определению базиса это означает, что любая строка или столбец матрицы могут быть представлены в виде линейной комбинации базисных строк или базисных столбцов, причем единственным образом. Все ра
Доказательство.
Покажем достаточность условия второго следствия. Если строки матрицы линейно зависимы, то по свойству системы зависимых векторов одна из строк является линейной комбинацией остальн
Теорема (о приведении к ступенчатой матрице).
Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице, выполнив конечное число элементарных преобразований.
Теорема доказывается конструктивно путем перебора конечного числа возможных
Теорема (о ранге ступенчатой матрицы).
Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Доказательство.Ненулевые, ступенчатые строки линейно независимы, что можно показать, составив линейную комб
Теорема (о равносильных переходах).
Любое конечное число элементарных преобразований системы переводят ее в систему, равносильную исходной системе.
Доказательство теоремы следует непосредственно из оп
Доказательство.
Ранг матрицы коэффициентов системы по определению всегда меньше или равен числа уравнений или числа неизвестных исх
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Под векторной алгеброй обычно понимают раздел линейной алгебры, изучающий геометрические векторы на плоскости и реальном пространстве. В математике и ее приложениях встречаются разл
Евклидовы пространства.
Определение.Скалярным произведением двух любых векторов линейного пространства называется правило, по которому каждой упорядоченной паре векторов
Теорема (основные свойства ортонормированного базиса).
1. Координаты произвольного вектора в ортонормированном базисе равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие векторы этого базиса.
2. Скалярное произведение двух
Определение.
Каноническим базисом в пространстве трехмерных геометрических векторов называют векторы
Новости и инфо для студентов