Определители вводятся только для квадратных матриц как некоторое правило, формирующее значение определителя по элементам матрицы. Если элементы матрицы числа, то определитель будет числом; если элементы матрицы функции, то и определитель будет функцией и так далее. Обозначается определитель любой квадратной матрицы одним из следующих символов . Определяющее правило составления определителя введем индуктивно, то есть будем выражать значение определителя матрицы размера (определитель порядка ) через определители меньших порядков.
Определитель матрицы положим равным элементу . Так, например, .
Определителем порядка назовем число, которое будем находить по правилу разложения по первой строке матрицы размера :
.
В этой и во всех последующих формулах минором элемента называется определитель порядка , полученный вычеркиванием из исходной матрицы строки с номером и столбца с номером . Отсюда определитель второго порядка находится по правилу
,
т. е. составляется разность произведений элементов, стоящих на главной диагонали, и элементов, стоящих на побочной диагонали.
Так , .
Определитель третьего порядка по общей формуле сначала выражается через определители второго порядка и далее определители первого порядка:
=
= =
= .
Если в последнем выражении определителя третьего порядка в одну группу собрать произведения со знаком плюс, а во вторую – произведения со знаком минус, то мы получим формулу раскрытия определителя по правилу Саррюса:
=
(определитель третьего порядка равен сумме произведений его элементов, находящихся на главной диагонали и в вершинах равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали, минус сумму произведений элементов, находящихся на побочной диагонали и в вершинах равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали).
Вычислим по правилу Саррюса следующий определитель третьего порядка
=
=.
В теории определителей важную роль играет следующая основная теорема, которую мы приводим без доказательства. Определим, предварительно, алгебраическое дополнение любого элемента по формуле
.
Как следует из определяющей формулы, алгебраическое дополнение может отличаться от минора только знаком.