рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Математический анализ

Математический анализ - раздел Математика,   Математический Анализ ...

 

Математический анализ

Семестр

Содержание

Числовые ряды. Критерий Коши сходимости. Свойства сходящихся рядов.

Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения. Признаки Даламбера, Коши, Гаусса.

3. Интегральный признак сходимости. Сходимость ряда .

Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

Условная сходимость. Теорема Лейбница.

Равномерная сходимость функциональной последовательности, ряда. Признак Вейерштрасса.

Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Почленное интегрирование и дифференцирование ряда.

Степенные ряды. Радиус сходимости. Непрерывность суммы. Почленное интегрирование и дифференцирование.

Разложение элементарных функций в степенные ряды.

Ортонормированные системы функций. Обобщенные ряды Фурье. Тригонометрические ряды Фурье. Теорема сходимости.

11. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение . Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения. Уравнения вида .

Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка.

13. Дифференциальное уравнение n-ного порядка. Задача Коши для уравнения . Понижение порядка дифференциального уравнения.

14. Линейное дифференциальное уравнение n-ного порядка. Свойства линейного однородного дифференциального уравнения.

Линейная зависимость функций. Определитель Вронского.

Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения.

Линейное неоднородное уравнение. Принцип суперпозиции.

Метод вариации постоянных.

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение.

Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Числовые ряды. Критерий Коши сходимости. Свойства сходящихся рядов

Определение. Если существует , то говорят, что сходится бесконечный ряд (другое обозначение ) (2) и его сумма равна . Если же не существует, либо бесконечен, то говорят, что ряд (2) расходится.… Пример. (геометрическая прогрессия). Из элементарной алгебры: . Если , то при и , т.е. ряд сходится. Если , то при и…

Доказательство.

. Ряд сходится Þ существует . Но частичная сумма ряда имеет вид . Величина не зависит от . Кроме того, при . Поэтому существует . Утверждение… Итак, исследование сходимости ряда и исследование сходимости любого его… Теорема. (1).

Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения. Признаки Даламбера, Коши, Гаусса

Теорема. (Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами). Ряд сходится .

Доказательство.

. Пусть . Поскольку , последовательность возрастает и, по условию, ограничена. Следовательно, по теореме Вейерштрасса (см. 1-ый семестр), она имеет… Простые следствия из этого критерия – очень полезные теоремы сравнения. Теорема 1. Пусть для всех и пусть ряд - сходится. Тогда сходится ряд .

Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов

Легко доказать, что из сходимости ряда вытекает сходимость ряда . По критерию Коши, примененному к , получаем: . Из полученного неравенства следует,… Обозначим , т.е. , . Очевидны равенства: . Рассмотрим ряды и . Если они…

Условная сходимость. Теорема Лейбница

Теорема. (Лейбниц). Пусть для ряда выполнены условия: 1. ; 2. .

Без доказательства.

Теорема. (Признак Дирихле). Если частичные суммы ряда , т.е. суммы ограниченны в совокупности (т.е. ), а последовательность монотонно стремится к 0, то ряд сходится.

Без доказательства.

Равномерная сходимость функциональной последовательности, ряда. Признак Вейерштрасса

Определение. поточечно сходится к на , если , т.е. . Пример. Пусть , . Тогда при имеем: . При и . Таким образом, последовательность… Если рассматривать функциональный ряд , составленный из определенных на множестве функций, то под его поточечной…

Без доказательства.

Следствие. (Необходимый признак сходимости ряда). Положим в критерий Коши . Тогда получаем: , т.е. . Теорема. (Признак Вейерштрасса). Пусть выполняется неравенство . Пусть, кроме… Доказательство. Достаточно проверить справедливость критерия Коши, т.е. доказать, что . Но последнее неравенство…

Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Почленное интегрирование и дифференцирование ряда

Доказательство. Требуется доказать, что функция непрерывна в точке , т.е. . Зафиксируем произвольное . Ввиду равномерной сходимости . В частности, .… Следствие. Сумма равномерно сходящегося ряда, члены которого являются… Доказательство. Применим предыдущую теорему к последовательности частичных сумм ряда.

Степенные ряды. Радиус сходимости. Непрерывность суммы. Почленное интегрирование и дифференцирование

Теорема 1. Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится абсолютно для любого значения такого, что . Доказательство. Поскольку - сходится, . Следовательно, . (Действительно, взяв… Эта теорема позволяет выяснить структуру множества, на котором сходится степенной ряд.

Доказательство.

Доказательство. Так как , ряд сходится. Так как , можно применить теорему Вейерштрасса, из которой и следует утверждение леммы. Замечание. Лемма отнюдь не утверждает равномерной сходимости степенного ряда… Пусть теперь , т.е. . Выберем так, чтобы . Тогда, по доказанной лемме, ряд сходится на абсолютно и равномерно.…

Разложение элементарных функций в степенные ряды

Лемма. Если для любого отрезка при любом , то . Доказательство. Для произвольного выберем так, чтобы . Применим к формулу… Для получения разложения заметим, что , и для любого отрезка . Поэтому лемма применима с , и мы получаем: .

Ортонормированные системы функций. Обобщенные ряды Фурье. Тригонометрические ряды Фурье. Теорема сходимости

Термин “ортогональность” требует некоторых пояснений. Функции на отрезке образуют (бесконечномерное) векторное пространство (сумма функций и… 1. ; 2. ;

Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка.

Решим сначала вспомогательное уравнение . Это – уже знакомое уравнение с разделяющимися переменными, имеющее решение . Для нахождения решения… В общем случае уравнения , где - непрерывные на функции мы поступаем вполне… Уравнения, не разрешенные относительно производной. Общее уравнение первого порядка можно пытаться решать разными…

Линейное дифференциальное уравнение n-ного порядка. Свойства линейного однородного дифференциального уравнения

Это уравнение называется линейным, поскольку все величины входят в него в первой степени, т.е. линейным образом. Если , то это уравнение называется… Если же , то (1) – линейное неоднородное уравнение. Удобно записывать уравнения (1) и (2) в операторной форме: и , соответственно, где величину можно рассматривать как…

Линейная зависимость функций. Определитель Вронского

Определение. Пусть - функции, имеющие все производные до порядка включительно. Определителем Вронского функций называется величина (3). Определение. Пусть определены ны интервале . Мы назовем их линейно зависимыми,… Функции, которые не являются линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Линейная независимость означает, что…

Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения

Из предыдущих теорем сразу следует еще одна важная теорема. Теорема 7. Решения уравнения (2) образуют фундаментальную систему решений… Доказательство. Равносильная переформулировка утверждения теоремы – решения линейно зависимы тогда и только тогда,…

Линейное неоднородное уравнение. Принцип суперпозиции

Доказательство. Пусть . Тогда, по лемме 1 (Билет 14), . Таким образом, есть некоторое решение однородного уравнения (2). Обратно, если и , то и, следовательно, удовлетворяет уравнению (1). Теорема 3 доказана.

Метод вариации постоянных

Для того, чтобы отыскать следует воспользоваться системой (14), рассматривая ее как систему линейных уравнений относительно неизвестных с…

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение

Для этого будем искать решения уравнения в виде . При этом (3). Подставим полученные величины в уравнение (1): , или . Поскольку при всех , из… Таким образом, функция удовлетворяет уравнению (1) тогда и только тогда, когда… Далее мы установим вид фундаментальной системы решений уравнения (1) в зависимости от свойств корней уравнения (4). …

Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

В случае уравнения с постоянными коэффициентами мы указали способы нахождения его фундаментальной системы решений. Используя метод вариации… Пусть (3), где - многочлены, - действительные числа. Согласно принципу… Решения уравнения (4) имеют различный вид в зависимости от того, является или нет число корнем характеристического…

– Конец работы –

Используемые теги: Математический, анализ0.044

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Математический анализ

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Источники анализа системы экономической информации. Задачи анализа себестоимости продукции
Содержание анализа вытекает из его функций.Одной из таких функций является изучение характера действия экономических законов, установление… Следующая функция анализа - контроль за выполнением планов и управленческих… И наконец - разработка мероприятий по использованию выявленных резервов в процессе хозяйственной деятельности. Система…

Доклады по дисциплине Дополнительные главы математической статистики . Регрессионный анализ. 4
Содержание... Регрессионный анализ Теоретическая часть работы...

Математический анализ
Б.м. х и х в окр.т.Хо называются 2 одного порядка 0, если предел их отношений есть число не равное 0. Две б.м. в окр.т.Хо называются 2… Формула 2 НЬЮТОНА-бинома 2ab с a b 2cnkn-k 2c 0 2- 0кол-во сочетаний из n по… Два направленных отрезка называются 2равными 0,если они лежат на одной или на параллельных прямых,со-направлены и…

Математический анализ. Функции
Новороссийск УДК ББК вбя...

Математический анализ
Счетные множества - множества равномощные множеству натуральных чисел N Теорема Множество Q счетно. Докозательство Q Лемма 1 nОN Zn - счетно. Каждому элементу из N надо взаимноднозначно сопоставить элемент Zn 100n 5-2n 21n 63n 3-1n 7-3n 42n Лемма 2…

Билеты по математическому анализу
Мн-ва первичное понятие, на уровне здравого смысла, его не возможно точно определить.Для описания мн-в единая символика, а именно, если в мн-во А… Операции с мн-воми А Вхх принадл. либо А, либо В обьединение мн-в А и В. А… Мн-во Х назся огран. сверхуснизу, если сущ-ет число с такое, что для любого х Х вып-ся неравенство сххс. Число с…

Основы математического анализа
лицей им А М Кузьмина... В С Козадаев...

Анализ организации и деятельности коммерческой службы фирмы с позиций маркетингового анализа
Важную роль в этом в рыночных условиях играет использование принципов маркетинга, получивших широкое распространение в мировой практике. Маркетинг… Маркетинг требует творческого подхода. "Не существует единой универсальной… Сегодня в информационную эпоху, когда запросы и нужды потребителей быстро распространяются по миру, структуры рынков…

Анализ ошибок заочной математической школы
В процессе чтения у него появляются те или иные проблемы с пониманием смысла прочитанного. Преодолевать их помогает учитель. При очном обучении он… Понятно, что это значительно увеличивает "цену" каждой реплики, и они должны… Их в свою очередь можно разделить на два вида: 1) ошибки, спровоцированные изъянами учебного текста; 2) ошибки,…

Методы математического анализа и расчёта электронных схем
Поэтому эффективность разрабатываемых программ имеет существенное значение и определяется выбором математической модели устройства, а также методов… Целью данной работы является составление математической модели… Исследуемая электромеханическая система. 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ Электромеханическая система на…

0.036
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам