Доказательство.

Лемма. Пусть . Тогда сходится на множестве абсолютно и равномерно.

Доказательство. Так как , ряд сходится. Так как , можно применить теорему Вейерштрасса, из которой и следует утверждение леммы.

Замечание. Лемма отнюдь не утверждает равномерной сходимости степенного ряда на . Да это, вообще говоря, и неверно. Например, прогрессия сходится на неравномерно. Однако этот ряд сходится равномерно на любом .

Пусть теперь , т.е. . Выберем так, чтобы . Тогда, по доказанной лемме, ряд сходится на абсолютно и равномерно. Поскольку все функции - непрерывные, сумма ряда есть непрерывная на функция. Значит, эта функция непрерывна и в выбранной, произвольной точке интервала .

Следствие. (Единственность степенного ряда). Пусть , и в некоторой окрестности . Тогда .

Доказательство. При получаем: . Поэтому . При . В правой и левой частях стоят степенные ряды, а они, по-доказанному, есть непрерывные функции, поэтому равенство сохраняется при , откуда и т.д. (Отметим, что здесь существенно использована непрерывность ряда в точке ).

Сформулируем без доказательства еще одну важную теорему.

Теорема. (Абель). Если ряд , имеющий сумму , сходится (хотя бы неабсолютно) при , то (т.е. сумма ряда непрерывна слева).

Теорема. Для любого .

Доказательство. Пусть удовлетворяет неравенствам . Тогда степенной ряд сходится равномерно на и его можно почленно проинтегрировать. Кроме того, . Теорема доказана.

Теорема. Для любого .

Доказательство. Выберем так, чтобы . По определению , ряд сходится. Поэтому (см. доказательство теоремы 1): . Рассмотрим величину . По признаку Даламбера, ряд сходится, т.к. . Значит, мы оценили члены ряда при членами сходящегося ряда . Применяя теорему Вейерштрасса на , получаем, что этот ряд равномерно сходится. Следовательно, почленное дифференцирование обосновано на отрезке , а значит, и в точке . Ввиду произвольности точки , теорема доказана.

Важное замечание. Из доказанных теорем вытекает, что при интегрировании и дифференцировании радиус сходимости не уменьшается. Но увеличиться он также не может. Если бы, например, он увеличился и стал равен при интегрировании, мы продифференцировали бы этот полученный при интегрировании ряд и получили бы с одной стороны, ряд, совпадающий с исходным, а с другой стороны, имеющий радиус сходимости не меньший, чем (по доказанному).

Итак, радиус сходимости степенного ряда не меняется при почленном интегрировании и дифференцировании.

Однако поведение в концевых точках может меняться. Например, ряд сходится на . При этом ряд , получающийся из исходного дифференцированием, сходится только на , а прогрессия , получающаяся при дифференцировании ряда (сходящегося на ), сходится на .

Рассмотрим теперь функцию , представляемую степенным рядом в области его сходимости. Очевидно, . Далее, последовательно применяем теорему о почленном дифференцировании ряда. , откуда . , откуда . , и т.д. .

Следовательно, при всех . Таким образом, . Это можно сформулировать так: степенной ряд, сходящийся к , представляет собой ряд Тейлора для своей суммы .

Если имеет производные произвольного порядка в точке , то можно образовать соответствующий ей ряд Тейлора: .

Важное замечание. Не всегда этот ряд сходится к самой функции . Например, нетрудно доказать, что функция имеет производные произвольного порядка в точке и все они равны 0, т.е. . Ряд Тейлора этой функции тождественно равен 0 и не совпадает с .

Необходимое и достаточное условие для того, чтобы ряд Тейлора функции сходился к самой функции , можно сформулировать так: остаток должен стремиться к 0 при .