рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Ортонормированные системы функций. Обобщенные ряды Фурье. Тригонометрические ряды Фурье. Теорема сходимости

Ортонормированные системы функций. Обобщенные ряды Фурье. Тригонометрические ряды Фурье. Теорема сходимости - раздел Математика, Математический анализ Понятие Об Ортогональных Системах Функций. Начнем С О...

Понятие об ортогональных системах функций. Начнем с определения ортогональных функций. Функции называются ортогональными на , если .

Термин “ортогональность” требует некоторых пояснений. Функции на отрезке образуют (бесконечномерное) векторное пространство (сумма функций и произведение функции на число – это снова функция). Рассмотрим для интегрируемых функций величину (1) и назовем нормой . Разумеется, это билинейная симметричная функция:

1. ;

2. ;

3. .

4. Кроме того, если рассматривать только непрерывные функции, из равенства следует, что на .

Действительно, если бы существовала точка такая, что , то, ввиду непрерывности существовало бы такое, что при для функции было бы справедливо неравенство . Но тогда .

Поэтому для непрерывных функций величина (1) представляет собой скалярное произведение.

Если рассмотреть более широкий класс, чем непрерывные функции, то свойство 4 уже не имеет места. Например, для отличной от тождественного нуля функции на выполняется равенство .

Однако, если - кусочная непрерывная функция, то можно доказать, что из равенства следует, что равна 0 всюду, кроме конечного числа точек, где она имеет устранимый разрыв.

Таким образом, величина (1) по своим свойствам близка к скалярному произведению.

Система функций - ортогональная на , если при . Система функций называется ортонормированной на , если .

Если рассмотреть символ Кронекера , определяемый так: , то условие ортонормированности можно записать так: .

Если ортогональная система функций не содержит функций с нулевой нормой, то система - ортонормированная.

Действительно, .

Обобщенные ряды Фурье. Пусть - ортогональная на система функций. Пусть представляет собой равномерно сходящийся на ряд . Найдем коэффициенты . Для этого вычислим (ввиду равномерной сходимости) (ввиду ортогональности) . Поэтому .

Однако коэффициент некоторой функции можно вычислять по этой формуле и без предположения о сходимости ряда . Этот коэффициент называется коэффициентом Фурье относительно системы , а ряд называется рядом Фурье функции . Мы пока не говорим о сходимости этого ряда к , а говорим лишь о том, что функции можно поставить в соответствие ее ряд Фурье, и записываем это так: .

Мы вернемся к этому важнейшему вопросу о сходимости немного позднее.

Тригонометрические ряды Фурье. Пусть отрезок имеет длину . Для определенности, пусть это отрезок . Рассмотрим следующую систему функций: .

Теорема. Рассматриваемая система функций является ортогональной.

Доказательство. Требуется доказать, что при и что при всех

Проверим первое из этих равенств. Остальные получаются совершенно аналогично. (т.к. .

Замечание. Легко вычислить, что на . Например, .

Предположим теперь, что определена на и периодически продолжена на всю числовую ось. Сопоставим ей ряд Фурье по тригонометрической системе: , где .

(Важнейший частный случай: , тогда тригонометрическая система имеет вид . Коэффициенты Фурье вычисляются по формулам и ряд Фурье, соответствующий , есть ).

Вернемся к вопросу о сходимости ряда Фурье.

Теорема. Пусть - периодическая функция (с периодом ), - кусочно непрерывны на (т.е. ограничены на этом промежутке и имеют не более чем конечное число точек разрыва, причем только первого рода). Тогда ее ряд Фурье: сходится при любом , причем , если - точка, где непрерывна. в точке разрыва (символы означают , соответственно).

Эта теорема приводится без доказательства ввиду его технической сложности (хотя это и одна из самых простых теорем о сходимости).

Рассмотрим особенности разложений в ряд Фурье, присущие четным и нечетным функциям.

Лемма. Если - четная интегрируемая функция, то , а если - нечетная интегрируемая функция, то .

Доказательство. (замена ) (ввиду четности) . Аналогично, (ввиду нечетности).

Теорема. Разложение в ряд Фурье четной функции содержит только косинусы кратных дуг (т.е. все коэффициенты ). Разложение в ряд Фурье нечетной функции содержит только синусы кратных дуг (т.е. все ).

Доказательство. Следует только заметить, что если - четная, то - четная, а - нечетная функция и если нечетная, то - четная, а - нечетная функция. Применение леммы доказывает теорему.

Приведем примеры разложения функций в ряды Фурье.

Пример. Разложим в ряд Фурье на интервале . Эта функция – нечетная, поэтому в разложении все . Интегрируя по частям, находим (здесь использовано то, что ).

Итак, получаем ряд , который сходится к функции ( и к 0 в точках ).

Обратим внимание на еще один часто встречающийся тип задач.

Пример. Разложить функцию на интервале по косинусам кратных дуг. В качестве рассмотрим . Эту задачу не следует путать с разложением в ряд Фурье функции на интервале . При таком разложении тригонометрическая система имела бы вид , и разложение содержало бы как функции , так и функции . Не следует также видеть в этой задаче противоречие с разобранным выше примером. Там ведь функция была задана на , и была нечетной на этом интервале. В рассматриваемом случае мы должны сначала доопределить на интервале (в нашем случае это будет ) так, чтобы получилась четная функция .

Разложение содержит только косинусы. Рассматривая это разложение только при , получаем решение исходной задачи. При .

Разложим на . Это – четная функция. , . . Поэтому при получаем искомое разложение по косинусам кратных дуг. .

11. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение . Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения. Уравнения вида

Дифференциальным уравнением называется уравнение вида , где - функция, определенная в некоторой области пространства , - независимая переменная, - функция от , - ее производные.

Порядком уравнения называется наивысший из порядков производных , входящих в уравнение.

Функция называется решением уравнения на промежутке , если для всех из выполняется равенство: .

Интегральная кривая – это график решения.

Пример 1. Решить уравнение . Его решение: определено на . Отметим, что эта постоянная – произвольная и решение – не единственное, а имеется бесконечное множество решений.

Пример 2. Решить уравнение , где - непрерывная на функция. Пусть - первообразная для . Тогда уравнение имеет бесконечное множество решений на и все они имеют вид , где - произвольная постоянная.

Есть прямой способ выбрать какое-то одно из этих решений, потребовав, например, чтобы для некоторой точки выполнялось условие . Тогда, подставив в решение, получаем условие , определяющее и, тем самым, единственное решение с указанным условием.

Рассмотрим значительно более общую ситуацию, чем была в примерах. Пусть исследуемое уравнение имеет вид: . Это – уравнение первого порядка, разрешенное относительно . (Термин «разрешенное» означает, что выражается через остальные величины, в отличие от уравнения общего вида , из которого выразить может быть и не удастся).

Сформулируем важнейшую теорему.

Теорема. (О существовании и единственности решения задачи Коши). Пусть - непрерывная функция в области , причем - также непрерывен в . Тогда для любой точки задача Коши: имеет решение, причем единственное в том смысле, что если есть 2 ее решения и , определенные на интервалах и , содержащих точку , то они совпадают на пересечении этих интервалов.

Теорему оставим без доказательства.

Замечание. Говорят, что решение дифференциального уравнения на интервале есть продолжение решения на , если и на . Также говорят, что решение - максимальное или непродолжаемое относительно , если не обладает продолжениями, целиком лежащими в .

На основании этого замечания можно сказать, что при условиях теоремы существует единственное максимальное (непродолжаемое) решение задачи Коши.

Геометрический смысл сформулированной теоремы состоит в следующем. Левая часть уравнения представляет собой - тангенс угла наклона касательной к графику искомой функции в точке , а правая часть задает его численное значение в этой точке. Поэтому можно считать, что уравнение задает поле направлений на области , т.е. к каждой точке прикреплен вектор, указывающий направление касательной к искомой интергальной кривой.

Поэтому сформулированная выше теорема означает, что при выполнении ее условий через каждую точку проходит единственная непродолжаемая интегральная кривая.

Перейдем к простейшим типам дифференциальных уравнений, для которых можно в явном виде получить их решения.

Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнениями с разделяющимися переменными называются уравнения вида , где - непрерывна на некотором , а непрерывна на , причем на . . Интегрируя обе части, получаем . Обозначая любую первообразную для , а - любую первообразную для , перепишем это уравнение в виде . Это – искомая интегральная кривая.

Рассмотрим некоторые примеры таких уравнений.

Пример 1. . Очевидно решение . Если же , то уравнение можно заменить таким: , откуда . Если считать, что , то , откуда или . Аналогично, при получаем .

Пример 2. . - решение уравнения. При имеем: , и . Аналогично, при .

В точках единственность решения нарушается. Отметим, что это не противоречит теореме единственности: - не непрерывен в 0.

Однородные уравнения. Под однородными уравнениями понимаются уравнения вида . Для их решения требуется сделать замену , после чего получится уравнение с разделяющимися переменными.

Пример. . Оно имеет решение . Пусть теперь . Преобразуем уравнение так: (правая часть имеет вид - это однородное уравнение). Полагаем . При этом и получаем уравнение . Значит, .

Уравнения вида . Такие уравнения сводятся к однородным заменой переменных. В случае, если прямые и пересекаются в точке , то замена приведет уравнение к однородному. Если же эти прямые не пересекаются, то и замена приведет к уравнению с разделяющимися переменными.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Математический анализ

На сайте allrefs.net читайте: "Математический анализ"

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Ортонормированные системы функций. Обобщенные ряды Фурье. Тригонометрические ряды Фурье. Теорема сходимости

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Числовые ряды. Критерий Коши сходимости. Свойства сходящихся рядов
Пусть - последовательность чисел. Рассмотрим величины (1).

Доказательство.
сходится Þ сходится . Но

Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения. Признаки Даламбера, Коши, Гаусса
Если известно, что все члены ряда имеют, начиная с некоторого номера, постоянный знак, то исследовать его сходимость проще, чем

Доказательство.
. Пусть . Тогда

Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов
Определение. Абсолютно сходящимся рядом называется сходящийся ряд , для которого сходится и ряд

Условная сходимость. Теорема Лейбница
Существуют также условно сходящиеся ряды. Простейшим примером служит знакочередующийся ряд . Он не является абсолютно схо

Равномерная сходимость функциональной последовательности, ряда. Признак Вейерштрасса
Пусть задана последовательность функций , определенных на множестве

Без доказательства.
Из этой теоремы сразу следует критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда: равномерно сходится на

Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Почленное интегрирование и дифференцирование ряда
Теорема. Пусть на . Пусть

Степенные ряды. Радиус сходимости. Непрерывность суммы. Почленное интегрирование и дифференцирование
Важный частный случай функциональных рядов представляют собой степенные ряды, т.е. ряды вида или, в более общем случае,

Доказательство.
Лемма. Пусть . Тогда сходится на мн

Разложение элементарных функций в степенные ряды
Разложение . Лемма. Если для любого отрезка

Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка.
Пример. Разберем пример: . Решим сначала вспомогательное уравнение

Линейное дифференциальное уравнение n-ного порядка. Свойства линейного однородного дифференциального уравнения
Рассмотрим дифференциальное уравнение (1), где - функции

Линейная зависимость функций. Определитель Вронского
Перейдем к более глубокому изучению свойств векторного пространства решений уравнения (2). Мы установим ниже, что оно имеет раз

Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения
Определение. Любые линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения

Линейное неоднородное уравнение. Принцип суперпозиции
Теорема 3. Пусть - решение уравнения

Метод вариации постоянных
Вернемся к неоднородному уравнению (1). Предположим, что мы можем найти фундаментальную систему решений

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение
Для уравнений (1), у которых (2), где

Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений, для решения уравнения (1) достаточно знать фундаментальную систему

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги