рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Линейное дифференциальное уравнение n-ного порядка. Свойства линейного однородного дифференциального уравнения

Линейное дифференциальное уравнение n-ного порядка. Свойства линейного однородного дифференциального уравнения - раздел Математика, Математический анализ Рассмотрим Дифференциальное Уравнение ...

Рассмотрим дифференциальное уравнение (1), где - функции, непрерывные на некотором интервале .

Это уравнение называется линейным, поскольку все величины входят в него в первой степени, т.е. линейным образом. Если , то это уравнение называется линейным однородным (2).

Если же , то (1) – линейное неоднородное уравнение.

Удобно записывать уравнения (1) и (2) в операторной форме: и , соответственно, где величину можно рассматривать как результат действия линейного дифференциального оператора на функцию .

Теорема 1. Для любого и любых задача Коши имеет единственное решение , определенное на .

Доказательство. Применим общую теорему существования и единственности. Уравнение перепишем в виде . Соответствующая функция имеет вид . Ее частные производные по равны, соответственно . Поскольку , по условию, непрерывны на , все условия общей теоремы выполнены. Применяя ее, получаем требуемое.

Свойства линейных однородных дифференциальных уравнений.

Лемма 1. Для любых , имеющиъ производные до порядка включительно, и любых постоянных .

Замечание 1. Иными словами, - линейный оператор.

Замечание 2. Утверждение леммы равносильно тому, что и .

Доказательство. Для любого в силу известных свойств производной (при под понимается сама функция ).

Следовательно, .

Следствие. Если имеют производные до -го порядка включительно, а - постоянные, то .

Доказательство. Воспользуемся индукцием по . При по лемме 1 (при ). Если утверждение доказано при , то, по лемме 1, (по индуктивному предположению) .

Теорема 2. Множество решений линейного однородного дифференциального уравнения (2) представляет собой векторное пространство.

Доказательство. Следует доказать, что если - решения уравнения, то - тоже решение, и если - решение, а - постоянная, то - тоже решение, т.е. .

По замечанию 2 к лемме 1, .

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Математический анализ

На сайте allrefs.net читайте: "Математический анализ"

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Линейное дифференциальное уравнение n-ного порядка. Свойства линейного однородного дифференциального уравнения

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Числовые ряды. Критерий Коши сходимости. Свойства сходящихся рядов
Пусть - последовательность чисел. Рассмотрим величины (1).

Доказательство.
сходится Þ сходится . Но

Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения. Признаки Даламбера, Коши, Гаусса
Если известно, что все члены ряда имеют, начиная с некоторого номера, постоянный знак, то исследовать его сходимость проще, чем

Доказательство.
. Пусть . Тогда

Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов
Определение. Абсолютно сходящимся рядом называется сходящийся ряд , для которого сходится и ряд

Условная сходимость. Теорема Лейбница
Существуют также условно сходящиеся ряды. Простейшим примером служит знакочередующийся ряд . Он не является абсолютно схо

Равномерная сходимость функциональной последовательности, ряда. Признак Вейерштрасса
Пусть задана последовательность функций , определенных на множестве

Без доказательства.
Из этой теоремы сразу следует критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда: равномерно сходится на

Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Почленное интегрирование и дифференцирование ряда
Теорема. Пусть на . Пусть

Степенные ряды. Радиус сходимости. Непрерывность суммы. Почленное интегрирование и дифференцирование
Важный частный случай функциональных рядов представляют собой степенные ряды, т.е. ряды вида или, в более общем случае,

Доказательство.
Лемма. Пусть . Тогда сходится на мн

Разложение элементарных функций в степенные ряды
Разложение . Лемма. Если для любого отрезка

Ортонормированные системы функций. Обобщенные ряды Фурье. Тригонометрические ряды Фурье. Теорема сходимости
Понятие об ортогональных системах функций. Начнем с определения ортогональных функций. Функции называют

Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка.
Пример. Разберем пример: . Решим сначала вспомогательное уравнение

Линейная зависимость функций. Определитель Вронского
Перейдем к более глубокому изучению свойств векторного пространства решений уравнения (2). Мы установим ниже, что оно имеет раз

Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения
Определение. Любые линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения

Линейное неоднородное уравнение. Принцип суперпозиции
Теорема 3. Пусть - решение уравнения

Метод вариации постоянных
Вернемся к неоднородному уравнению (1). Предположим, что мы можем найти фундаментальную систему решений

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение
Для уравнений (1), у которых (2), где

Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений, для решения уравнения (1) достаточно знать фундаментальную систему

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги