Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений, для решения уравнения (1) достаточно знать фундаментальную систему решений однородного уравнения (2) и найти хотя бы одно решение неоднородного уравнения. Тогда любое решение неоднородного уравнения имеет вид: , где - произвольные постоянные.

В случае уравнения с постоянными коэффициентами мы указали способы нахождения его фундаментальной системы решений. Используя метод вариации постоянных, можно теперь найти решение и неоднородного уравнения. Однако есть важные частные случаи, когда решение неоднородного уравнения можно отыскать значительно проще.

Пусть (3), где - многочлены, - действительные числа. Согласно принципу суперпозиции, достаточно уметь решать уравнение вида (4). Тогда, решив каждое из уравнений и просуммировав полученные решения, мы получим решение исходного уравнения (3).

Решения уравнения (4) имеют различный вид в зависимости от того, является или нет число корнем характеристического уравнения для однородного уравнения (2).

В первом случае не является корнем характеристического уравнения. Тогда решение уравнения (4) можно искать в виде , где - многочлен той же степени, что и многочлен .

Во втором случае, если является корнем характеристического уравнения (2) кратности , решение уравнения (4) следует искать в виде , где - многочлен той же степени, что и .

Эти два случая можно объединить в один, если считать, что , не являющееся корнем характеристического уравнения, имеет нулевую кратность. Тогда решение уравнения (4) следует искать в виде , , где - кратность в характеристическом уравнении.

Если в правую часть уравнения (1) входят слагаемые вида (5), где - многочлены, то можно искать решение уравнений (6) в виде , где - кратность корня в характеристическом многочлене однородного уравнения (, если - не корень характеристического уравнения), а степень каждого из многочленов равна наивысшей из степеней многочленов .

Когда слагаемых вида (5) несколько, то мы решаем соответствующие им уравнения (6) и применяем затем принцип суперпозиции.

Рассмотрим важный пример.

Пример. Уравнение упругих колебаний без сопротивления при наличии возмущающей периодической силы: , - постоянные.

Корни характеристичского уравнения равны . Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения состоит из функций .

Если , то решение исходного уравнения ищем в виде . Подставляем его в уравнение: , , откуда , или , откуда . Тем самым, общее решение уравнения имеет вид . Здесь - амплитуда свободных колебаний, - частота свободных колебаний, - амплитуда вынужденных колебаний с частотой . Чем ближе величина , тем больше амплитуда вынужденных колебаний.

Если же , то решение, согласно указанным выше правилам, следует искать в виде . Тогда . Подставим в уравнение: , или . Итак, общее решение уравнения имеет вид: . При амплитуда колебаний возрастает неограниченно. Это – явление резонанса.