Доказательство.

. Пусть . Тогда при всех .

. Пусть . Поскольку , последовательность возрастает и, по условию, ограничена. Следовательно, по теореме Вейерштрасса (см. 1-ый семестр), она имеет предел, то есть ряд сходится.

Простые следствия из этого критерия – очень полезные теоремы сравнения.

Теорема 1. Пусть для всех и пусть ряд - сходится. Тогда сходится ряд .

Доказательство. Очевидны неравенства . По условию - сходится. Значит, по приведенному выше критерию, . Но тогда и и, значит, ряд - сходится.

Примечание 1. Эта теорема может быть сформулирована и так: Пусть для всех и ряд - расходится, тогда расходится и ряд . Действительно, если бы этот ряд сходился, то первой теореме должен был бы сходиться и ряд .

Примечание 2. Теорема 1 справедлива и в случае, когда неравенство выполняется начиная с некоторого номера .

Теорема 2. Пусть для всех и . Тогда либо оба ряда и сходятся, либо они оба расходятся. (Т.е. не может быть так, что один из них сходится, а другой расходится).

Доказательство. . Выберем . Тогда (т.к. ) при .

Если ряд – сходится, то сходится и ряд (по примечанию 2 к теореме 1). Тогда, взяв , получим, что и ряд , т.е. ряд – сходится.

Если ряд – сходится, то сходится и ряд и, следовательно, сходится ряд .

Теорема доказана.

Пример применения теоремы 2. Ряд сходится, т.к. при и ряд – сходится.

Теорема. (Признак сходимости Коши). Пусть и при достаточно больших . Тогда ряд сходится. Если же при , то он расходится.

Доказательство. Неравенство при равносильно неравенству . Так как , ряд – сходится. По теореме 1 из предыдущего параграфа ряд также сходится.

Если же , то и и равенство невозможно. Т.о. необходимый признак сходимости не выполняется и ряд расходится.

В предельной форме эта теорема выглядит так:

Теорема. Пусть существует . Тогда если – ряд сходится, – ряд расходится, – признак неприменим.

Доказательство. Пусть . Выберем так, чтобы (т.е. ). Тогда при , т.е. . Применяя предыдущую теорему получаем, что ряд сходится.

Если же , то выберем так, что (т.е. ). Тогда . Вновь по предыдущей теореме ряд расходится.

Теорема. (Признак сходимости Даламбера). Пусть при всех , где . Тогда ряд сходится. Если же при , то ряд расходится.

Доказательство. Из условий теоремы следует . Иными словами, и по первой теореме сравнения ряд сходится.

Если , то при и ряд расходится.

В предельной форме этот признак выглядит так:

Теорема. Если существует , то при ряд сходится, при - расходится, а при признак неприменим.

Доказательство. При выбираем так, чтобы . Пусть выбрано так, чтобы при , т.е. и , . По предыдущей теореме ряд сходится. Если же , то выберем так, что . Тогда при и ряд расходится.

Признаки Коши и Даламбера удобны, но слабоваты. Например, для рядов и : при , при , т.е. признак Коши не применим. Признак Даламбера тем более неприменим, т.к. , .

Однако мы знаем, что гармонический ряд расходится, а для второго ряда легко подсчитать частичную сумму: и при . (Здесь использовано тождество ), т.е. ряд сходится.

Теорема. (признак Гаусса). Пусть и , .

Тогда:

Если - ряд сходится, Если - ряд расходится, Если и - ряд сходится, Если и - ряд расходится.

Эту теорему оставим без доказательства.

В применении к ряду она дает: , - ряд расходится. Для ряда имеем: , - ряд сходится.

3. Интегральный признак сходимости. Сходимость ряда

Теорема. Пусть - непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая функция, определенная при . Тогда ряд и интеграл либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Доказательство. Ввиду монотонности при всех выполняются неравенства . Интегрируя, получаем . Тогда , или . Поэтому если сходится, то . Тогда и , ряд сходится.

Пусть теперь наоборот, известно, что ряд сходится. Тогда . Взяв произвольное выберем так, чтобы . Тогда . Значит, сходится.

Геометрическая иллюстрация теоремы.

- площадь под графиком на отрезке от 1 до . - площадь “верхней лестницы”, расположенной над графиком и - площадь “нижней лестницы”, под графиком.

Пусть ряд и интеграл сходятся. Тогда остаток ряда .

Теорема. Сходимость ряда .

Ряду соответствует функция . сходится при и расходится при . По доказанной теореме, ряд сходится при и расходится при .