Условная сходимость. Теорема Лейбница - раздел Математика, Математический анализ Существуют Также Условно Сходящиеся Ряды. Простейшим Примером Служит З...
Существуют также условно сходящиеся ряды. Простейшим примером служит знакочередующийся ряд . Он не является абсолютно сходящимся, т.к. ряд расходится.
Теорема. (Лейбниц). Пусть для ряда выполнены условия:
1. ;
2. .
Тогда этот ряд сходится и его сумма удовлетворяет неравенству: .
Доказательство. Рассмотрим частичную сумму ряда с номером : и заметим, что , т.к. по условию 1 имеем неравенство: . Кроме того, . Все слагаемые в круглых скобках, а также , по условию 1 неотрицательны и, значит, .
Таким образом, последовательность не убывает и ограничена сверху. Значит, существует предел . Кроме того, .
Осталось доказать, что . и так как по условию 2 , .
Вернемся к . Очевидно, что и . По теореме Лейбница этот ряд сходится.
Теорема. (Признак Абеля). Если ряд сходится, а числа образуют монотонную и ограниченную последовательность, то ряд - сходится.
На сайте allrefs.net читайте: "Математический анализ"
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Условная сходимость. Теорема Лейбница
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
. Он не является абсолютно сходящимся, т.к. ряд 
расходится.
выполнены условия:
;
.
.
: 
и заметим, что 
, т.к. по условию 1 имеем неравенство: 
. Кроме того, 
. Все слагаемые в круглых скобках, а также 
, по условию 1 неотрицательны и, значит, 
.
не убывает и ограничена сверху. Значит, существует предел 
. Кроме того, 
. 
и так как по условию 2 
, 
.
. Очевидно, что 
и 
. По теореме Лейбница этот ряд сходится.
сходится, а числа 
образуют монотонную и ограниченную последовательность, то ряд 
- сходится.
Новости и инфо для студентов