рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Равномерная сходимость функциональной последовательности, ряда. Признак Вейерштрасса

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Равномерная сходимость функциональной последовательности, ряда. Признак Вейерштрасса

Равномерная сходимость функциональной последовательности, ряда. Признак Вейерштрасса - раздел Математика, Математический анализ Пусть Задана Последовательность Функций ...

Пусть задана последовательность функций , определенных на множестве .

Определение. поточечно сходится к на , если , т.е. .

Пример. Пусть , . Тогда при имеем: . При и . Таким образом, последовательность поточечно сходится к функции .

Если рассматривать функциональный ряд , составленный из определенных на множестве функций, то под его поточечной сходимостью понимается поточечная сходимость последовательности его частичных сумм.

Выше мы видим, что поточечный предел последовательности непрерывных функций может оказаться разрывной функцией.

Чтобы избежать подобных неприятностей, рассмотрим более сильное понятие равномерной сходимости.

Определение. Последовательность равномерно сходится к при на множестве , если . Это обозначается так: на при .

Равномерная сходимость функционального ряда – это равномерная сходимость последовательности его частичных сумм к сумме ряда на . Это равносильно тому, что на при , т.е. тому, что на .

Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости последовательности ). на множестве .

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Математический анализ

На сайте allrefs.net читайте: "Математический анализ"

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Равномерная сходимость функциональной последовательности, ряда. Признак Вейерштрасса

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Числовые ряды. Критерий Коши сходимости. Свойства сходящихся рядов
Пусть - последовательность чисел. Рассмотрим величины (1).

Доказательство.
сходится Þ сходится . Но

Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения. Признаки Даламбера, Коши, Гаусса
Если известно, что все члены ряда имеют, начиная с некоторого номера, постоянный знак, то исследовать его сходимость проще, чем

Доказательство.
. Пусть . Тогда

Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов
Определение. Абсолютно сходящимся рядом называется сходящийся ряд , для которого сходится и ряд

Условная сходимость. Теорема Лейбница
Существуют также условно сходящиеся ряды. Простейшим примером служит знакочередующийся ряд . Он не является абсолютно схо

Без доказательства.
Из этой теоремы сразу следует критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда: равномерно сходится на

Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Почленное интегрирование и дифференцирование ряда
Теорема. Пусть на . Пусть

Степенные ряды. Радиус сходимости. Непрерывность суммы. Почленное интегрирование и дифференцирование
Важный частный случай функциональных рядов представляют собой степенные ряды, т.е. ряды вида или, в более общем случае,

Доказательство.
Лемма. Пусть . Тогда сходится на мн

Разложение элементарных функций в степенные ряды
Разложение . Лемма. Если для любого отрезка

Ортонормированные системы функций. Обобщенные ряды Фурье. Тригонометрические ряды Фурье. Теорема сходимости
Понятие об ортогональных системах функций. Начнем с определения ортогональных функций. Функции называют

Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка.
Пример. Разберем пример: . Решим сначала вспомогательное уравнение

Линейное дифференциальное уравнение n-ного порядка. Свойства линейного однородного дифференциального уравнения
Рассмотрим дифференциальное уравнение (1), где - функции

Линейная зависимость функций. Определитель Вронского
Перейдем к более глубокому изучению свойств векторного пространства решений уравнения (2). Мы установим ниже, что оно имеет раз

Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения
Определение. Любые линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения

Линейное неоднородное уравнение. Принцип суперпозиции
Теорема 3. Пусть - решение уравнения

Метод вариации постоянных
Вернемся к неоднородному уравнению (1). Предположим, что мы можем найти фундаментальную систему решений

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение
Для уравнений (1), у которых (2), где

Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений, для решения уравнения (1) достаточно знать фундаментальную систему