Функции

Понятие функции определим через введенное ранее понятие бинарного отношения.

Определение. Функцией называется любое бинарное отношение, которое не содержит двух пар с одинаковыми первыми элементами и разными вторыми.

Если f - функция, то множество D_f мы будем называть областью определения функции f, а множество R_f - областью значения функции.

Примеры. 1) {(1,1);(2,3); (3,2)} есть функция с областью определения {1,2,3} и это же множество является ее областью значений.

2) бинарное отношение {(1,2);(2,2);(пешка,ферзь);(ладья, слон)} - есть функция с областью определения {1,2,пешка,ладья} и областью значения {2,ферзь,слон}.

3) бинарное отношение {(1,2);(1,1);(2,3)} не является функцией поскольку содержит пары с одинаковыми первыми и разными вторыми элементами.

4) {((x,y),x+y) : (x,y) Î ² } - функция с область определения в ² и областью значений в .

Давайте, вернемся к привычным обозначениям: если f - функция и (x,y) Î f, то элемент y называют значением функции f на x или образом элемента x при f и поэтому элемент y мы будем обозначать f(x): y = f(x). Поскольку f функция, то имеется только одна пара (x,y) с первой компонентой x, а второй y принадлежащая f. Достаточно часто, говорят, что y является образом элемента x, а элемент x является прообразом элемента y.

К функциям, поскольку они являются множествами применимо понятие равенства.

Определение. Функции f и g равны между собой тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов:

f = g Û Df = Dg и f(x) = g(x) "x Î Df.

Итак, пусть задана область определения функции f множество D_f. Часто возникает задача найти область значений этой функции - множество R_f. Точно это сделать бывает трудно, поэтому иногда проще указать множество Y, такое, что R_f Í Y. Удобно ввести следующие определения:

Определение. Если D_f Í X и R_f Í Y, то говорят, что функция f определена в множестве X и принимает свои значения в множестве Y.

Определение. Если D_f = X и R_f Í Y, то говорят, что функция f определена на множестве X и принимает свои значения в множестве Y.

Определение. Если, кроме того, что D_f = X выполнено еще условие R_f = Y, то отображение (функцию) f называют отображением множества X "на" Y или сюръекцией.

Заметим, что каждая функция f является сюръекцией множества D_f на R_f.

Определение. Функция f называется инъективной или инъекцией, если из того, что f(a) = f(b) следует, что a = b.

Определение. Инъективное отображение множества X на множество Y называется однозначным (биективным) или просто биекцией типа X ® Y.

Примеры. 1) Для заданной квадратичной функции f = {(x,y) Î ² : y = x² } проверить, является ли она биекцией. Функция f является отображением множества на множество ₊È{0} Для проверки биективности функции f необходимо проверить является ли она еще и инъекцией. Квадратичная функция f такова, что f(1) = f(-1), однако отсюда не следует, что 1 = -1. Таким образом показали, что отображение f не является инъекцией. Следовательно биективным такое отображение f также не является.

2) Рассмотрим функцию g, которая каждому элементу x Î ставит в соответствие число g(x) = 2x+1. Покажем, что заданная таким образом функция g является взаимнооднозначным соответствием между и множеством нечетных целых чисел. Действительно, из того, что 2x₁+1 = 2x₂+1 следует, что x₁ = x₂.

В последнем примере было установлено взаимно однозначное соответствие между множеством и его собственным подмножеством. Вообще говоря, справедливо следующее утверждение.

Утверждение. Множество M бесконечно тогда и только тогда, когда существует взаимно однозначное соответствие между самим множеством M и его собственным подмножеством.

Из определения суперпозиции бинарных отношений f и g следует, что когда f и g являются функциями, то значение их суперпозиции fg на элементе x вычисляется следующим образом

(fg)(x) = g(f(x))

и означает, что если f: X --> Y, g:Y R Z тогда fg : X --> Z. В том случае, когда для заданной функции f отношение f^-1 является функцией будем его называть функцией обратной к f и обозначать f^-1.

Утверждение. Для любой заданной функции f обратная ей функция f^-1 существует тогда и только тогда, когда f - инъективна.

Доказательство. Докажем сначала необходимость этого условия. Предположим, что для заданной функции f обратная к ней функция f^-1 существует. Покажем, что в этом случае f - инъективна.

Доказательство будем проводить от противного. Пусть f не является инъективным отображением. Это означает, что существует, по крайней мере, две пары (a,c) Î f, (b,c) Î f, где a ¹ b. Следовательно f^-1 содержит пары (c,a), (c,b) и поскольку a ¹ b бинарное отношение f^-1 не является функцией. Таким образом мы получили противоречие. Значит исходное предположение о том, что f не является инъективным отображением ложно. На этом и завершается доказательство необходимости приведенного утверждения.

Доказательство достаточности будет приведено немного позднее.