Числовая модель планиметрии

В аналитической геометрии на плоскости уже содержится числовая модель планиметрии; нужно только дать алгебраические определения основных объектов и отношений планиметрии [6, c 45-47].

Тогда основными объектами в данной интерпретации будет:

· «точка»- упорядоченная пара чисел (x,y). Эти числа- координаты точки.

· «отрезок АВ»- множество точек (x,y), координаты которых удовлетворяют формулам:

x = s x_a + t x_b, y = s y_a + t y_b, s + t =1 s, t ³0 (1)

Точки А (x_a, y_a) , В( x_b,y_b) назовем концами отрезка. Точка (x,y) принадлежит отрезку, если x и y выражаются формулами (1).

Каждому отрезку АВ относят число |АВ| - его «длину»:

(2)

Отрезки называют равными, если равны их длины. Таким образом, основные объекты и отношения определены.

Чтобы проверить выполнимость аксиом планиметрии, введем вместо точек формальные векторы, понимая под ними упорядоченные пары чисел.

Тогда: x = (x,y). От точек они отличаются тем, что для них мы определим сложение и умножение на число и друг на друга. Получаем:

(I) x₁ + x₂ = ( x₁,y₁) + ( x₂,y₂) = ( x₁+ x₂, y₁+ y₂),

(II) λx = λ(x,y) = ( λx, λy),

(III) x₁* x₂= ( x₁,y₁) * ( x₂,y₂) = x₁x₂ + y₁y₂ ,

(xx)= x² = x²+ y² и .

Отрезок АВ тогда можно записать так: x = x_A +t (x_B - x_A), 0£ t £1. (3)

И |АВ|= | x_B - x_A| (4)

Вместо x_B , x_A будем писать a, b и т. п.

Для любых c и e определим луч с началом в точке с «вдоль» ненулевого вектора е: х=с+ te , (5)

где t пробегает любые неотрицательные значения, прямую определим тоже формулой (5), но при условии, что t пробегает все вещественные значения.

Часть луча, соответствующая какому угодно промежутку tÎ [t₀, t₁], представляет собой отрезок.

Полагая a = c + t₀e , b= c + t₁e, получим

x = c + te = , (6)

или , обозначая коэффициенты при a и b через r и s ,

x= ra + sb, где r+s = 1 и t₀£ t £t₁, будет r, s³0, так что мы имеем отрезок с концами a,b.

Для того, что бы проверить, что в указанной числовой модели выполняются все аксиомы планиметрии нужно то, что говорится в каждой аксиоме перевести на язык модели- язык координат- и убедиться, что сказанное в аксиоме выполняется.

Покажем это на примере проверки некоторых аксиом.

1. Проверим аксиому Архимеда. Пусть дан отрезок АВ. Его можно представить формулой х = a+te, |e| = 1, 0£ t £ l,

где l- длина отрезка АВ. Поэтому параметр t- это длина отрезка от точки а до х = a+te.

Если дан еще отрезок длины l₁ , то отложив его вдоль АВ от конца А, получим, что при l₁ ³ l, то останется отрезок с концами a+ l₁ e , a+ le. Его длина будет l-l₁. откладывая на нем отрезок длины l₁ и т.д., придем к тому, что перекроем отрезок АВ ( на n-м шаге, где n такое, что nl₁ ³ l >(n-1)l₁), как и того требует аксиома Архимеда.

2. Проверим аксиому непрерывности. Последовательность вложенных один в другой отрезков можно представить так, что таким отрезкам будут отвечать промежутки значений параметра t, соответственно вложенные один в другой. По свойству вещественных чисел существует чисто t₀, принадлежащее всем этим промежуткам. Ему будет отвечать точка a+t₀e, общая данным отрезкам.

3. Проверим ту аксиому, что вдоль всякого отрезка от любого из его концов можно отложить отрезок, равный любому данному, и при том только один.

Пусть дан отрезок с концами a, b и некоторый отрезок длины l, который требуется отложить вдоль первого отрезка от его конца а. Представим первый отрезок формулой

x= a+ tc, c= b-a, 0£ t £1.

Отрезок x= a+ tl , 0£ t £1,

налегает на первый отрезок. Один его конец – а, другой d= a+l . Поэтому его длина будет |d-a|= l = l_1, что и требуется.