рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Интерпретация Пуанкаре планиметрии Евклида

Интерпретация Пуанкаре планиметрии Евклида - раздел Математика, Геометрия Евклида Рассмотрим В Плоскости Евклида Множество Всех Прямых [7, C 264-265]. Выбрав В...

Рассмотрим в плоскости Евклида множество всех прямых [7, c 264-265]. Выбрав в этой плоскости некоторую произвольную точку О в качестве центра инверсии с произвольным радиусом инверсии, преобразуем множество всех этих прямых в множество всех прямых и окружностей, проходящих через точку О.

Будем рассматривать данную плоскость Евклида с множеством всех ее прямых и ее отображение с множеством всех окружностей и прямых параболической связки с центром в точке О в виде двух отдельных плоскостей. Тогда при помощи инверсии одна плоскость Евклида отображается на другую плоскость. Это отображение первой плоскости на вторую является взаимно однозначным за одним исключением: точке О в первой плоскости не соответствует никакой точки во второй. Поэтому, что бы добиться взаимнооднозначного соответствия из второй плоскости исключим одну точку О, как бы прокалывая плоскость в этой точке, но дополним ее несобственной (бесконечно удаленной) точкой О' первой плоскости. Вторую плоскость после указанных изменений будем называть плоскость Пуанкаре, и обозначать буквой П. Первую плоскость обозначим через Е.

Введем основные понятия:

· П -точкой называется любая точка плоскости П, т.е. любая точка плоскости Евклида с выключенной точкой О и дополненной несобственной точкой О'.

· П - прямой называется любая прямая или окружность параболической связки с центром связки О плоскости П, т.е. любая прямая или окружность параболической связки плоскости Евклида с центром связки О, если из этой плоскости выбросить точку О и дополнить её несобственной точкой О' .

· «П - инцидентность» между П -точками и П -прямыми будем понимать в обычном смысле.

Определение. Пусть три П - точки: A, B, C, инцидентные одной П -прямой, инверсией преобразуются в три точки: A', B', C', инцидентные одной прямой в плоскости Е. Тогда будем говорить, что «B лежит между A и C», если соответствующая точка B' лежит между A' и C' в обычном смысле слова.

Таким образом, мы ввели понятия П - отрезка, П - луча, П – угла, которые определяются точно так же, как это сделано Гильбертом в отношении понятия отрезка, луча, угла, при этом очевидно, что инверсия преобразует П – отрезок, П - луч, П – угол соответственно в обычные отрезок, луч, угол плоскости Е и обратно.

В силу свойства инверсии П – угол между П-прямыми равен соответствующему обычному углу между обычными прямыми плоскостиЕ , которые переходят в данные П-прямые.

Определение.П-конгруэнтность в применении к П – отрезкам и к П – углам означает конгруэнтность в обычном смысле тех отрезков или углов плоскостиЕ, которые преобразуются инверсией в данные П – отрезки или П – углы. При исполнении инверсии ясно, что П–конгруэнтность П – углов означает равенство мер этих углов.

Учитывая свойства инверсии, естественно принять следующее определение.

Определение.Две П-прямые называются «параллельными», если они в плоскости П изображаются двумя окружностями или окружностью и прямой, касающимися в точке О.

Поскольку точка О исключена из плоскости П, эти П-параллельные П-прямые не имеют общей П – точки.

Покажем выполнимость некоторых аксиом:

1. Через всякие две П-точки проходит П-прямая и притом только одна(рис.13).

 

 

Рис.13.

2. На каждой П- прямой от данной на ней П- точки С можно по данную сторону отложить П- отрезок, П- конгруэнтный заданному ( рис .14)

 

 

Рис.14.

 

3.Через П - точку А, лежащую вне П –прямой а, в П – плоскости, ими определяемой, проходит только одна П –прямая, П –параллельная А ( рис 15).

 

 

Рис.15.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Геометрия Евклида

На сайте allrefs.net читайте: "Геометрия Евклида"

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Интерпретация Пуанкаре планиметрии Евклида

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Аксиоматика Д.Гильберта
Появилась в 1899 г. и считается одним из современных аксиоматических обоснований евклидовой геометрии. Вся система аксиом состоит из 20 аксиом и содержит 26 требований, которые описывают 5 видов от

Аксиома Паша
12. Пусть задан треугольник АВС и в его плоскости прямая а, не проходящая через А, B, C. Если прямая а пересекает одну сторону АС треугольника, то она пересекает по крайней мер

Теорема (о внешнем угле треугольника)
Внешний угол треугольника больше любого не смежного с ним угла треугольника. Аксиомы 13–17 позволяют ввести операцию движения в геометрии. Определение движения. Взаимно одн

Группа 5. Аксиома параллельности
20. Через любую точку А, не инцидентную прямой “a” , можно провести в плоскости (определяемой этой точкой А и прямой “a”) не более одной прямой, не пересекающейся с “

Два недостатка аксиоматики Д.Гильберта
Огромное значение аксиоматики Д. Гильберта для всей математики, и геометрии в частности, неоспоримо и продолжает исследоваться до сих пор. А о той роли, которую сыграли выделенные ниже два «недоста

Непротиворечивость системы аксиом
Система аксиом называется непротиворечивой, или совместной, если в теории этой системы невозможно доказать какое–нибудь утверждение А и его отрицание ùА. В противном случае сис

Независимость аксиоматической системы
Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если ни одна из аксиом этой системы не может быть выведена из остальных аксиом как теорема. В противном случае система аксиом называется зави

Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом
Для структуры ∑{T,Ð ,М} всякой системы аксиом Т определено множеств И – утверждений или высказываний, связывающих элементы Т, Ð, М этой струк

Интерпретация плоской геометрии Евклида
Рассмотрим множество всех прямых в пространстве, параллельных между собой (связку прямых), и множество всех плоскостей, параллельных хотя бы одной прямой связки [3,c 106-107] . Дадим катег

Числовая модель планиметрии
В аналитической геометрии на плоскости уже содержится числовая модель планиметрии; нужно только дать алгебраические определения основных объектов и отношений планиметрии [6, c 45-47]. Тогд

Интерпретация Федорова
Рассмотрим еще одну интерпретацию геометрии Евклида, принадлежащую русскому кристаллографу и геометру академику Евграфу Степановичу Федорову (1853 – 1919) [3,c 107-110]. Он составил такую модель. В

Аналитическая интерпретация геометрии Евклида
Введем основные объекты. Пусть «точками» будут упорядоченные пары действительных чисел (x, y). «Прямые» - отношения трех упорядоченных чисел (u:v:w), из которых u и v одновременно не равны н

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги