Реферат Курсовая Конспект
Интерпретация Пуанкаре планиметрии Евклида - раздел Математика, Геометрия Евклида Рассмотрим В Плоскости Евклида Множество Всех Прямых [7, C 264-265]. Выбрав В...
|
Рассмотрим в плоскости Евклида множество всех прямых [7, c 264-265]. Выбрав в этой плоскости некоторую произвольную точку О в качестве центра инверсии с произвольным радиусом инверсии, преобразуем множество всех этих прямых в множество всех прямых и окружностей, проходящих через точку О.
Будем рассматривать данную плоскость Евклида с множеством всех ее прямых и ее отображение с множеством всех окружностей и прямых параболической связки с центром в точке О в виде двух отдельных плоскостей. Тогда при помощи инверсии одна плоскость Евклида отображается на другую плоскость. Это отображение первой плоскости на вторую является взаимно однозначным за одним исключением: точке О в первой плоскости не соответствует никакой точки во второй. Поэтому, что бы добиться взаимнооднозначного соответствия из второй плоскости исключим одну точку О, как бы прокалывая плоскость в этой точке, но дополним ее несобственной (бесконечно удаленной) точкой О' первой плоскости. Вторую плоскость после указанных изменений будем называть плоскость Пуанкаре, и обозначать буквой П. Первую плоскость обозначим через Е.
Введем основные понятия:
· П -точкой называется любая точка плоскости П, т.е. любая точка плоскости Евклида с выключенной точкой О и дополненной несобственной точкой О'.
· П - прямой называется любая прямая или окружность параболической связки с центром связки О плоскости П, т.е. любая прямая или окружность параболической связки плоскости Евклида с центром связки О, если из этой плоскости выбросить точку О и дополнить её несобственной точкой О' .
· «П - инцидентность» между П -точками и П -прямыми будем понимать в обычном смысле.
Определение. Пусть три П - точки: A, B, C, инцидентные одной П -прямой, инверсией преобразуются в три точки: A', B', C', инцидентные одной прямой в плоскости Е. Тогда будем говорить, что «B лежит между A и C», если соответствующая точка B' лежит между A' и C' в обычном смысле слова.
Таким образом, мы ввели понятия П - отрезка, П - луча, П – угла, которые определяются точно так же, как это сделано Гильбертом в отношении понятия отрезка, луча, угла, при этом очевидно, что инверсия преобразует П – отрезок, П - луч, П – угол соответственно в обычные отрезок, луч, угол плоскости Е и обратно.
В силу свойства инверсии П – угол между П-прямыми равен соответствующему обычному углу между обычными прямыми плоскостиЕ , которые переходят в данные П-прямые.
Определение.П-конгруэнтность в применении к П – отрезкам и к П – углам означает конгруэнтность в обычном смысле тех отрезков или углов плоскостиЕ, которые преобразуются инверсией в данные П – отрезки или П – углы. При исполнении инверсии ясно, что П–конгруэнтность П – углов означает равенство мер этих углов.
Учитывая свойства инверсии, естественно принять следующее определение.
Определение.Две П-прямые называются «параллельными», если они в плоскости П изображаются двумя окружностями или окружностью и прямой, касающимися в точке О.
Поскольку точка О исключена из плоскости П, эти П-параллельные П-прямые не имеют общей П – точки.
Покажем выполнимость некоторых аксиом:
1. Через всякие две П-точки проходит П-прямая и притом только одна(рис.13).
Рис.13.
2. На каждой П- прямой от данной на ней П- точки С можно по данную сторону отложить П- отрезок, П- конгруэнтный заданному ( рис .14)
Рис.14.
3.Через П - точку А, лежащую вне П –прямой а, в П – плоскости, ими определяемой, проходит только одна П –прямая, П –параллельная А ( рис 15).
Рис.15.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
На сайте allrefs.net читайте: "Геометрия Евклида"
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Интерпретация Пуанкаре планиметрии Евклида
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов