рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Теорема (о внешнем угле треугольника)

Теорема (о внешнем угле треугольника) - раздел Математика, Геометрия Евклида Внешний Угол Треугольника Больше Любого Не Смежного С Ним Угла Треугольника....

Внешний угол треугольника больше любого не смежного с ним угла треугольника.

Аксиомы 13–17 позволяют ввести операцию движения в геометрии.

Определение движения. Взаимно однозначное соответствие точек плоскости называется движением, если соответствующим парам точек , соответствуют конгруэнтные отрезки

Заметим, что в этой группе вместо аксиом 13–17 можно аксиоматически задать движение и некоторые его свойства. Тогда аксиомы 13–17 будут являться теоремами, которые доказываются на основании аксиом движения.

Таким образом, аксиомы 1–17 первых трех групп позволяют построить геометрию, в которой на прямой существует последовательность примыкающих друг к другу конгруэнтных отрезков, пронумерованных натуральным рядом. В этой геометрии есть конгруэнтные и правильные фигуры, определено понятие движения, совмещающего конгруэнтные фигуры и т. д.

Но в этой геометрии еще нет понятия параллельного переноса, не определено соответствие между действительными числами и точками прямой. Отсутствуют понятия длины отрезка, площади и объема геометрических фигур. Следовательно, в этой геометрии еще нет понятия расстояния и понятий близости и непрерывности, связанных со свойствами расстояния между точками. Хотя абстрактные понятия близости и непрерывности уже можно вести на языке шаровых окрестностей.

Действительно, шаром В (O, OА) с центром в точке О и радиусом ОА назовем все точки М такие, что ОМ<ОА. Далее, шар В (О, ОА1) Ì B(О, ОА2), если ОА1<ОА2, таким образом, множество окрестностей точки О есть множество всех шаров В (О, ОРк ), kÎN, где Рк– любая точка пространства. Определим последовательность точек МкÎВ (О,ОРк), kÎN условиями а) и b):

а) ОР1>ОР2>…>ОРк>…, что означает последовательность вложенных шаров В(О,ОР1В(О,ОР2)É…É В(О,ОРк) É…;

b) МкÏВк+1 "кÎN, что означает выбор каждой последующей точки в следующем вложенном шаре.

Используя лишь аксиомы I–III групп, мы не сможем установить существование предела у последовательности М1, М2, …, Мк, …, а в случае существования мы не сможем доказать его единственность.

Группа 4. Аксиомы непрерывности. Для описания свойства непрерывности расположения точек на прямой, определения длины отрезка и величины угла, установления взаимно однозначного соответствия между длинами всех отрезков и множеством действительных чисел вводим две следующие аксиомы.

AºC D 2 СD B n CD
n CD
Рис. 1.

18. Аксиома Архимеда. Пусть даны два произвольных отрезка АВ и СD; существует такое натуральное n, что n·СD>АВ (n·СD – обозначаем отрезок, полученный откладыванием отрезка СD n раз так, что конец предыдущего

 

откладывания есть начало следующего и два последовательных отрезка имеют только одну общую точку, рис. 1.).

19. Аксиома Кантора. Пусть на прямой дана последовательность отрезков, удовлетворяющая двум требованиям:

1) каждый последующий отрезок содержится в предыдущем,

2) не существует отрезка, принадлежащего всем отрезкам последовательности. Тогда существует точка, принадлежащая всем отрезкам последовательности.

Аксиомы непрерывности 18–19 в геометрии и аксиомы непрерывности Архимеда и Кантора действительных чисел позволяют установить взаимно однозначное соответствие между значениями длин всех отрезков и действительными числами так, что конгруэнтным отрезкам соответствуют равные значения длин.

Заметим, что геометрия, построенная на 19 аксиомах групп 1–4, называется абсолютной геометрией. В этой геометрии ещё нет понятия параллельного переноса, поэтому ей принадлежат те и только те утверждения, которые не используют явно или неявно свойства параллельности.

Конгруэнтные отрезки в абсолютной геометрии имеют равные длины, а конгруэнтные фигуры – равные числовые меры углов, площадей и объемов. Поэтому отношение двух фигур «быть конгруэнтными» в абсолютной геометрии превращается в числовые равенства длин, углов, площадей и объемов фигур или их частей.

В абсолютной геометрии определено расстояние r(А,В) между любыми точками А и В, если определено понятие длины на прямой.

r (А,В) = длине отрезка АВ.

Расстояние обладает свойствами:

r (А,В) > 0ÛАºВ

r (А,С) r(А,В)+r(В,С), " А,В,С

Причем равенство выполняется только для точек А, В, С, лежащих на одной прямой так, что A<B<C.

Таким образом, абсолютная геометрия содержит понятия числовых равенств элементов фигур (сторон, углов и т. д.). В этой геометрии существуют понятия близости и непрерывности, основанные на понятии расстояния между точками фигур.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Геометрия Евклида

На сайте allrefs.net читайте: "Геометрия Евклида"

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Теорема (о внешнем угле треугольника)

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Аксиоматика Д.Гильберта
Появилась в 1899 г. и считается одним из современных аксиоматических обоснований евклидовой геометрии. Вся система аксиом состоит из 20 аксиом и содержит 26 требований, которые описывают 5 видов от

Аксиома Паша
12. Пусть задан треугольник АВС и в его плоскости прямая а, не проходящая через А, B, C. Если прямая а пересекает одну сторону АС треугольника, то она пересекает по крайней мер

Группа 5. Аксиома параллельности
20. Через любую точку А, не инцидентную прямой “a” , можно провести в плоскости (определяемой этой точкой А и прямой “a”) не более одной прямой, не пересекающейся с “

Два недостатка аксиоматики Д.Гильберта
Огромное значение аксиоматики Д. Гильберта для всей математики, и геометрии в частности, неоспоримо и продолжает исследоваться до сих пор. А о той роли, которую сыграли выделенные ниже два «недоста

Непротиворечивость системы аксиом
Система аксиом называется непротиворечивой, или совместной, если в теории этой системы невозможно доказать какое–нибудь утверждение А и его отрицание ùА. В противном случае сис

Независимость аксиоматической системы
Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если ни одна из аксиом этой системы не может быть выведена из остальных аксиом как теорема. В противном случае система аксиом называется зави

Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом
Для структуры ∑{T,Ð ,М} всякой системы аксиом Т определено множеств И – утверждений или высказываний, связывающих элементы Т, Ð, М этой струк

Интерпретация плоской геометрии Евклида
Рассмотрим множество всех прямых в пространстве, параллельных между собой (связку прямых), и множество всех плоскостей, параллельных хотя бы одной прямой связки [3,c 106-107] . Дадим катег

Числовая модель планиметрии
В аналитической геометрии на плоскости уже содержится числовая модель планиметрии; нужно только дать алгебраические определения основных объектов и отношений планиметрии [6, c 45-47]. Тогд

Интерпретация Федорова
Рассмотрим еще одну интерпретацию геометрии Евклида, принадлежащую русскому кристаллографу и геометру академику Евграфу Степановичу Федорову (1853 – 1919) [3,c 107-110]. Он составил такую модель. В

Аналитическая интерпретация геометрии Евклида
Введем основные объекты. Пусть «точками» будут упорядоченные пары действительных чисел (x, y). «Прямые» - отношения трех упорядоченных чисел (u:v:w), из которых u и v одновременно не равны н

Интерпретация Пуанкаре планиметрии Евклида
Рассмотрим в плоскости Евклида множество всех прямых [7, c 264-265]. Выбрав в этой плоскости некоторую произвольную точку О в качестве центра инверсии с произвольным радиусом инверсии, преобразуем

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги