рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом

Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом - раздел Математика, Геометрия Евклида Для Структуры ∑{T,ð ,М} Всякой Системы Аксиом Т...

Для структуры ∑{T,Ð ,М} всякой системы аксиом Т определено множеств И – утверждений или высказываний, связывающих элементы Т, Ð, М этой структуры. (Напомним, что М – множество базовых элементов, а Ð – множество отношений между элементами М). Любое высказывание "иИ обладает одним из следующих трех свойств. Высказывание "и" является доказуемым в теории , обозначим множество таких высказываний Д. Высказывание "иИ опровержимо в системе , обозначим множество таких высказываний О. Наконец, высказывание "иИ не является ни доказуемым, ни опровержимым, то есть неопределенным; множество таких "и" обозначим Н. Таким образом, множество всех высказываний И, касающихся понятий структуры ∑Т, есть сумма непересекающихся классов

И=Д U О U Н. (1)

Определение (дедуктивной полноты). Непротиворечивая система аксиом Т называется дедуктивно полной, если в определяемой ею теории всякое предложение либо доказуемо, либо опровержимо. Другими словами, в теории всех высказываний такой системы Т недоказуемые и неопровержимые (неопределенные) утверждения отсутствуют и разложение (1) принимает вид

И=Д U О. (2)

Например, система аксиом Т абсолютной геометрии, состоящая из аксиом Д. Гильберта с исключенной аксиомой П – параллельности прямых, дедуктивно неполна. Действительно, аксиома параллельности П не доказуема и не опровержима в системе Т, так как П не зависит от Т.

Критерием дедуктивной полноты является свойство категоричности системы аксиом.

Определение (категоричности). Непротиворечивая, система аксиом называется категоричной, если любые ее модели (реализации) изоморфны.

Пусть система аксиом Т имеет две реализации R(T) и R'(T). Тогда согласно выводу 1 (п.6.4) между объектами Ri и R'i реализующими базовые множества Мi, устанавливается взаимно однозначное соответствие по схеме

 

(3)

 

Что можно сказать о соответствии между реализациями соотношений Рi в Ri и реализациями отношений P'i в R'i ?

Определение изоморфизма. Две реализации R(T) и R'(T) системы аксиом Т будем называть изоморфными, если выполняется два условия:

1) существует взаимно–однозначное соответствие (3) между реализациями Ri(Mi) и R'i(Mi) базовых множеств Mi, i=1,2,…, m;

2) отображение (3) устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми свойствами P'i(r'1,…,r'm) и Pi(r1,…, rm), представляющими в моделях R и R' свойства Ði(x1,…, xm) соответствующих при отображении (3) элементов r'ixiri .

Само отображение (3) при этом называется как изоморфизмом моделей или реализацией R(T) и R'(T), так и изоморфизмом аксиоматических структур T;P;R и T;P';R' .

Другими словами, изоморфизм моделей – это такое взаимно однозначное соответствие между элементами моделей, которое сохраняет отношения элементов, задаваемые системой аксиом.

Таким образом, если систему аксиом Т и ее аксиоматическую теорию рассматривать как мыслимые или абстрактные объекты, и если существует реализация R(T) этой системы Т, то соответствие между элементами базового множества М и элементами объекта R(M), реализующего М, устанавливает изоморфизм между мыслимой структурой T,Ð;М и моделью этой структуры T;P;R(M) .

Разница между абстрактной (формальной) системой аксиом с некоторой реализацией и содержательной системой аксиом состоит только в способе построения структуры. Действительно, можно вначале построить абстрактную систему аксиом, а затем указать ее модель. Можно наоборот, вначале выбрать те свойства модели, которые определяют ее с точностью до изоморфизма, а затем эти свойства принять за аксиомы. Оба способа определяют две изоморфные структуры.

Всякая аксиоматическая структура T,Ð;М определена с точностью до изоморфизма. Это означает, что любая ее изоморфная модель T;P;R(M) рассматривается как совокупность тех и только тех свойств, которые выводятся логическим путем в теории [2, c 19-22].

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Геометрия Евклида

На сайте allrefs.net читайте: "Геометрия Евклида"

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Аксиоматика Д.Гильберта
Появилась в 1899 г. и считается одним из современных аксиоматических обоснований евклидовой геометрии. Вся система аксиом состоит из 20 аксиом и содержит 26 требований, которые описывают 5 видов от

Аксиома Паша
12. Пусть задан треугольник АВС и в его плоскости прямая а, не проходящая через А, B, C. Если прямая а пересекает одну сторону АС треугольника, то она пересекает по крайней мер

Теорема (о внешнем угле треугольника)
Внешний угол треугольника больше любого не смежного с ним угла треугольника. Аксиомы 13–17 позволяют ввести операцию движения в геометрии. Определение движения. Взаимно одн

Группа 5. Аксиома параллельности
20. Через любую точку А, не инцидентную прямой “a” , можно провести в плоскости (определяемой этой точкой А и прямой “a”) не более одной прямой, не пересекающейся с “

Два недостатка аксиоматики Д.Гильберта
Огромное значение аксиоматики Д. Гильберта для всей математики, и геометрии в частности, неоспоримо и продолжает исследоваться до сих пор. А о той роли, которую сыграли выделенные ниже два «недоста

Непротиворечивость системы аксиом
Система аксиом называется непротиворечивой, или совместной, если в теории этой системы невозможно доказать какое–нибудь утверждение А и его отрицание ùА. В противном случае сис

Независимость аксиоматической системы
Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если ни одна из аксиом этой системы не может быть выведена из остальных аксиом как теорема. В противном случае система аксиом называется зави

Интерпретация плоской геометрии Евклида
Рассмотрим множество всех прямых в пространстве, параллельных между собой (связку прямых), и множество всех плоскостей, параллельных хотя бы одной прямой связки [3,c 106-107] . Дадим катег

Числовая модель планиметрии
В аналитической геометрии на плоскости уже содержится числовая модель планиметрии; нужно только дать алгебраические определения основных объектов и отношений планиметрии [6, c 45-47]. Тогд

Интерпретация Федорова
Рассмотрим еще одну интерпретацию геометрии Евклида, принадлежащую русскому кристаллографу и геометру академику Евграфу Степановичу Федорову (1853 – 1919) [3,c 107-110]. Он составил такую модель. В

Аналитическая интерпретация геометрии Евклида
Введем основные объекты. Пусть «точками» будут упорядоченные пары действительных чисел (x, y). «Прямые» - отношения трех упорядоченных чисел (u:v:w), из которых u и v одновременно не равны н

Интерпретация Пуанкаре планиметрии Евклида
Рассмотрим в плоскости Евклида множество всех прямых [7, c 264-265]. Выбрав в этой плоскости некоторую произвольную точку О в качестве центра инверсии с произвольным радиусом инверсии, преобразуем

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги