Жар холодных чисел

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 2 г. СТРЕЖЕВОЙ

Друщенко Елена Александровна

 

Жар холодных чисел

(Программа предпрофильного курса по математике для 9 кл.) Томск 2007 _______________________________________________

Пояснительная записка

Данный элективный курс посвящен одному из основных понятий математики - понятию числа и одному из самых красивых разделов математики-теории чисел.… Поэтомуосновная цель курсасформировать у учащихся представления о математике…

Задачи курса

-повышение вычислительной культуры учащихся; -знакомство с элементами теории чисел; -развитие коммуникативных навыков в процессе практической и игровой деятельности;

Тематическое планирование материала

Содержание курса

 

Тема 1.

 

Исторические экскурсы. Пифагор и его школа. Архимед и «Исчисление песчинок». Системы счисления. Совершенные числа. Дружественные числа. Простые числа.

 

Тема 2.

 

Элементы теории чисел. Арифметика остатков. Делимость чисел. Признаки делимости. Некоторые свойства делимости. Признак Евклида. Признак Паскаля. Основная теорема арифметики. Пифагоровы тройки. Неопределенные уравнения. Теорема Ферма.

 

Тема 3.

 

Диковинки в мире чисел. Знаменитые последовательности. Числа Фибоначчи. Числа Каталана. Числа – великаны.

 

Тема 4.

 

Алгоритмы ускоренных вычислений. Применение свойств чисел в фокусах и играх.

 

 

Методические рекомендации.

 

Занятие.

Учитель проводит вводную беседу о появлении понятия числа, Пифагоре, Архимеде. Затем класс разбивается на группы по три ученика. Первые ученики группы работают с текстом «Любимые числа жителей Атлантиды», вторые ученики группы работают с текстом «Узы дружбы в мире чисел», третьи ученики группы работают с текстом «Системы счисления». При работе с текстом они используют предложенную маркировку текста.

После самостоятельной работы с текстом, ученики собираются в группы, и каждый рассказывает свой текст. Затем в группах обсуждаются все тексты. Делается вывод на весь класс. Следующий этап: решение предложенных задач в группах. Результаты решений обсуждаются в классе.

 

Занятие.

Поскольку данный материал частично знаком учащимся из курса математики, в начале занятия учащимся предлагается ряд заданий и вопросов. После самостоятельной работы учитель проводит беседу по основному материалу, привлекая результаты самостоятельной работы учащихся.

Самостоятельная работа.

1. Вычислите несколько значений выражений

х² + х + 17, 2х² + 29, х² + х + 41, х² – 79х + 1601, х² + х + 72491.

Какие числа вы получили по этим формулам?

2.Рассмотрите таблицу простых чисел. Запишите возникшие вопросы или свои наблюдения.

3.Разместите натуральные числа (начиная с 17) последовательно в узлах квадратной сетки, двигаясь от узла к узлу по спирали. Проведите общую диагональ получившихся квадратов. Какие числа стоят на диагонали?

4. Попробуйте сформулировать тему нашего занятия и то, что на ваш взгляд является важным в данной теме.

 

Занятие 3.

Учитель или заранее подготовленный ученик предлагает учащимся разгадать софизм о делении. Затем учитель делает вступительное слово и формулирует подтему занятия «Делимость суммы и произведения». Предлагает учащимся сделать свои предположения и проверить их на примерах. Проводится обсуждение. Затем учащимся раздаются признаки делимости на 7,11,8,13,2^m, признак Паскаля. Предлагается проверить их на собственных примерах и сравнить результаты с партнером по парте. Если класс сильный, предложить провести обоснование некоторых признаков. В противном случае обосновать с помощью учителя и наводящих вопросов доказывается один из признаков.

Алгоритм Евклида рассмотреть по такой же схеме: учащиеся по предложенной схеме находят НОД каких- либо чисел, обсуждают неясные моменты. В конце урока самостоятельная работа по предложенным заданиям. Ее можно провести в виде соревнования: кто быстрей и без ошибок определит делимость заданных чисел.

 

Занятие 4,5.

Материал является для учащихся новым, поэтому излагается в виде учебной лекции. Следующее занятие- практикум по решению задач с помощью арифметики остатков.

 

Занятие 6.

Первая часть занятия посвящена пифагоровым тройкам, возможно некоторые из ребят знают об этом понятии, поэтому можно устроить чтение с остановками. Для этого текст разбивается на логические части. Объявляется тема «Пифагоровы тройки», ребята делают предположение о чем может быть текст. После высказанных предположений учащиеся читают первую часть текста, после чего обсуждается сбылись ли предположения, что нового, необычного узнали из текста. Далее тоже повторяется с другими частями, пока не будет прочитан и обсужден весь текст.

С неопределенными уравнениями и Теоремой Ферма учитель знакомит учащихся в ходе учебной лекции.

 

Занятие 7.

Посвящено решению неопределенных уравнений. Можно в качестве предварительного домашнего задания предложить из задачников и учебной литературы по математике подыскать неопределенные уравнения.

 

Задание 8.

Посвящено решению различных задач на делимость и решение уравнений в целых числах. Проводится в виде практикума, где учащиеся работают самостоятельно. Учитель при необходимости дает консультацию или предлагает карточку-помощник, позволяющей работать по алгоритму.

 

Задание 9.

После сообщения темы занятия можно предложить учащимся обсудить, что может быть математическим объектом данного урока. После этого работа может быть организована в трех группах. Например,

Первая группа исследует свойства отдельных чисел (37, 41, 666, 1001).

Вторая группа исследует свойства натурального ряда чисел.

Третья группа исследует свойства некоторых пар чисел, связанных с перестановкой их цифр.

Занятие 10.

После вступительного слова учителя, где он может познакомить с числами Каталана, знакомство с рядом Фибоначчи и фигурными числами можно организовать по схеме первого занятия ( взаимообучение), только в этом случае работать будут в паре. Для изучения свойств чисел ряда Фибоначчи можно применить мини-исследования. Работу лучше организовать в парах.

 

Занятие 11.

На данном занятии учащимся предлагается самим рассказать о числах- великанах. Можно составить кластер о данных числах. Затем организовать решение заданий в виде соревнования: кто быстрей и без ошибок выполнит все предложенные задания. В качестве домашнего задания можно найти материал о числах- карликах.

 

Занятие12.

После объявления темы занятия дать время на то, чтобы вспомнить известные приемы быстрых вычислений из школьной программы. Затем учитель знакомит с некоторыми алгоритмами. Для закрепления каждая пара на время повторяет данный алгоритм на другом примере. Таким образом, в классе можно установить самого быстрого вычислителя.

 

Занятие 13.

В качестве предварительного домашнего задания предложить подготовить по одному фокусу или игре, основанными на свойствах чисел. На занятии каждому предоставляется возможность продемонстрировать подготовленный фокус, а зрителям попытаться разгадать его секрет.

 

Занятие 14.

Итоговое занятие может быть проведено в форме презентации собственного проекта по одной из рассмотренных тем.

 

Литература

 

1. В.А.Гусев, А.И. Орлов, А.Л.Розенталь. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. Москва «Просвещение», 1984.

 

2. М. Гарднер. Математические чудеса и тайны.

Москва «Наука». Главная редакция физико-математической литературы 1982

 

3. Энциклопедия для детей. Аванта+. Математика. Москва. «Аванта+». 1998.

 

4. Д.С. Фаермарк. Задача пришла с картины. Издательство «Наука». Москва. 1974.

 

5. Б.А. Кордемской. Великие жизни в математике. Книга для учащихся 8-11 классов. Москва «Просвещение». 1995.