Формула Стирлинга. - раздел Математика, Неопределенный интеграл функции комплексной переменной Для Успешного Применения Радиального Признака Коши Полезно Знать Асимптотичес...
Для успешного применения радиального признака Коши полезно знать асимптотическую формулу для n!, выведенную Стирлингом
при
, где .
(Без доказательства.)
Примеры.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(ряд расходится по необходимому§11. Знакопеременные ряды.
Определение. Пусть " an³0, тогда ряд - знакопеременный ряд.
Теорема Лейбница. Если и , то знакочередующийся ряд сходится. При этом " n - модуль n-ого остатка ряда не превышает модуля следующего члена ряда.
Доказательство.
Рассмотрим частичные суммы ряда четного порядка
Их можно записать в виде
,
здесь каждая скобка неотрицательна, т.о. Þ последовательность частичных сумм четного порядка не убывает.
Заметим, что ту же последовательность можно записать и так
Þ
Т.е. неубывающая последовательность ограничена сверху Þ она сходится,
.
Покажем, что последовательность частичных сумм нечетного порядка стремится к тому же пределу. Действительно,
и Þ
Отметим, что для знакопеременного ряда справедливо S2k £ S £ S2k+1 . Так как { S2k } – неубывающая последовательность, а { S2k+1 } – невозрастающая последовательность. Обе сходятся к своей верхней (нижней) грани.
Þ S - S2k £ S2k+1 - S2k =a2k+1
и S2k-1 -S £ S2k-1 - S2k =a2k
Þ.
Пример.
- сходится в силу признака Лейбница. И его сумма .
Þ
Причина противоречия состоит в том, что не все свойства сумм переносятся на ряды. В частности, слагаемые можно переставлять только в абсолютно сходящихся рядах.
На сайте allrefs.net читайте: "Неопределенный интеграл функции комплексной переменной"
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Формула Стирлинга.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Формула среднего значения.
Пусть z0- некоторая внутренняя точка односвязной области g. Возьмем окружность CR с центром в z0 и радиусом R, CR &Igr
Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра.
Из курса действительного анализа известно, что интеграл, зависящий от параметра, можно дифференцировать под знаком интеграла, если производная подынтегральной функции по параметру непрерывна.
Числовые ряды.
Пусть дана последовательность {an} комплексных чисел.
Определение. Бесконечная сумма членов последовательности называется
Свойства сходящихся рядов.
Необходимый признак сходимости ряда. Если сходится, то an®0 .
Доказательство. У сходящегося
Критерий Коши сходимости ряда.
Для числовых последовательностей существует необходимый и достаточный признак сходимости. {Sn} сходится ó "e>0 $N(e): |Sn+m-S
Понятие правильной точки.
Пусть f(z) задана в g, за исключением может быть некоторых изолированных точек.
Точка z0Îg называется правильной точкой функци
Кольцо сходимости ряда Лорана.
Определение. Рядом Лорана называется степенной ряд вида (суммирование ведется и по положительным, и по отрицательным степ
Новости и инфо для студентов