рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Признаки Дирихле и Абеля для рядов с произвольными комплексными членами.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Признаки Дирихле и Абеля для рядов с произвольными комплексными членами.

Признаки Дирихле и Абеля для рядов с произвольными комплексными членами. - раздел Математика, Неопределенный интеграл функции комплексной переменной Докажем Некоторые Достаточные Признаки Сходимости Рядов. Предварител...

Докажем некоторые достаточные признаки сходимости рядов.

Предварительно рассмотрим одно преобразование сумм

Такое преобразование частичных сумм называется преобразованием Абеля. С его помощью докажем неравенство Абеля.

Лемма (неравенство Абеля). Если и , то

Доказательство.

Т.к. Þ

Важно, что оценка дается модулем первого и последнего члена и не зависит от числа слагаемых.

Замечание. Доказательство проходит и в случае . Т.е. можно потребовать просто монотонности .

Признак Дирихле. Пусть дан ряд : последовательность {a_n} – монотонно стремится к 0, а последовательность частичных сумм{B_n} ряда - ограничена, тогда ряд - сходится.

Доказательство.

"e>0 $ N(e): "n> N(e)

Теперь применяем неравенство Абеля

Согласно критерию Коши ряд сходится.

__________________

Докажем, что частичные суммы и ограничены при (при первая сумма равна 0, а вторая не ограничена).

Действительно

Сумма первых n членов геометрической последовательности с первым членом и знаменателем есть

Действительная и мнимая части этого выражения не превосходят .

Примеры.

1. . Последовательность {1/n} – монотонно стремится к нулю. А последовательность - ограничена Þ по признаку Дирихле исходный ряд сходится.

2. 3.

Признак Абеля. Если последовательность {a_n} монотонна и ограничена, а ряд сходится, то ряд из произведений также сходится.

Доказательство.

$М:

Выберем произвольное e. Из сходимости Þ $ N(e): "n> N(e)"p>0

. Тогда согласно неравенству Абеля

Согласно критерию Коши ряд сходится.

____________________________________________

Пример.

Ряд сходится по признаку Дирихле. А последовательность ограничена и монотонна Þ по признаку Абеля исходный ряд сходится.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Неопределенный интеграл функции комплексной переменной

На сайте allrefs.net читайте: "Неопределенный интеграл функции комплексной переменной"

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Признаки Дирихле и Абеля для рядов с произвольными комплексными членами.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Неопределенный интеграл функции комплексной переменной.
Если g- односвязная и f(z)ÎC¥(g), то для "z1, z2Îg не

Интегральная формула Коши.
Пусть f(z)Î C¥(). Выразим f(z0) (z0Îg) через значения f(z)

Формула среднего значения.
Пусть z0- некоторая внутренняя точка односвязной области g. Возьмем окружность CR с центром в z0 и радиусом R, CR &Igr

Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра.
Из курса действительного анализа известно, что интеграл, зависящий от параметра, можно дифференцировать под знаком интеграла, если производная подынтегральной функции по параметру непрерывна.

Существование производных всех порядков в области аналитичности функции комплексной переменной.
Пусть f(z)Î C¥(). Тогда значения f(z) во всех внутренних точках области (zÎg) можно в

Теоремы Мореры и Лиувилля.
Теорема Мореры. Если f(z)ÎC(g), g-односвязная и для " замкнутого gÌg: , то

Числовые ряды.
Пусть дана последовательность {an} комплексных чисел. Определение. Бесконечная сумма членов последовательности называется

Свойства сходящихся рядов.
Необходимый признак сходимости ряда. Если сходится, то an®0 . Доказательство. У сходящегося

Критерий Коши сходимости ряда.
Для числовых последовательностей существует необходимый и достаточный признак сходимости. {Sn} сходится ó "e>0 $N(e): |Sn+m-S

Достаточными признаками сходимости рядов с положительными членами являются признаки Даламбера и Коши.
Признак Даламбера. Пусть - ряд с положительными членами an>0 и $

Формула Стирлинга.
Для успешного применения радиального признака Коши полезно знать асимптотическую формулу для n!, выведенную Стирлингом при

Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
Примеры. - сходится абсолютно. - сходится условно. Ра

Ряды аналитических функций.
1. Понятие функционального ряда.Пусть дана последовательность {u k(z)} функций, z Î g. Выражение

Теорема Абеля.
Теорема Абеля. Если степенной ряд Scn(z-z0)n сходится в точке z1 ¹ z0 , то он абсолютно сходитс

Теорема Тейлора.
Теорема Тейлора. Если f(z)ÎC¥(|z-z0|<R), то $! степенной ряд Scn(z-z0)

Ряды Тейлора элементарных функций.
1. (Воспользоваться Þ " k Ck=1/

Понятие правильной точки.
Пусть f(z) задана в g, за исключением может быть некоторых изолированных точек. Точка z0Îg называется правильной точкой функци

Нули аналитической функции.
Определение. Пусть f(z)ÎC¥(g); f(z0)=0, z0Îg, тогда z0 - нуль аналитической ф

Если бы все точки границы были бы правильными, то
"x: |x-z0|=R- граница круга сходимости $r(x)>0: "z |x-z|<r(x), т.е. з

Кольцо сходимости ряда Лорана.
Определение. Рядом Лорана называется степенной ряд вида (суммирование ведется и по положительным, и по отрицательным степ

Теорема о разложении функции комплексной переменной, аналитической в круговом кольце в ряд Лорана.
Теорема (теорема Лорана) Если f(z)ÎC¥(R2<|z-z0|<R1), то она однозн

Ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.
Определение. Степенной ряд вида , сходящийся во круговом кольце