Реферат Курсовая Конспект
Ряды аналитических функций. - раздел Математика, Неопределенный интеграл функции комплексной переменной 1. Понятие Функционального Ряда.Пусть Дана Последов...
|
1. Понятие функционального ряда.
Пусть дана последовательность {u k(z)} функций, z Î g. Выражение - называется функциональным рядом, заданным в g.
Определение.Если при " z Î g, соответствующий числовой ряд сходится к определенному комплексному числу f(z), то в g определена функция, которая называется суммой функционального ряда, а сам ряд называется сходящимся в g.
rn(z)=f(z)- - n-ый остаток ряда
Если ряд сходится в g, то
"e>0 $ N(e,z): | rn(z)| <e для " n > N(e, z).
Пример.
- знакочередующийся ряд, сходится и признаку Лейбница, остаток ряда не превышает модуля следующего слагаемого
Необходимый и достаточный признак сходимости:
Критерий Коши: для "e>0 $ N(e ,z): | Sn+m(z)-Sn(z)| <e для "n > N и "m>0.
Вообще говоря, в каждой точке z Î g N свое: N=N(e ,z) и общего N для всей z может и не существовать.
2. Равномерная сходимость åuk(z) в области g.
Определение. Если для "e>0 $ N(e) : | rn(z)| <e для "n >N(e) и " z одновременно, то ряд åuk(z) называется равномерно сходящимся к функции f(z) в g.
Обозначение: åuk(z)=>f(z).
Критерий Коши (необходимое и достаточное условие равномерной сходимости).
Если для "e>0 $ N(e ): | Sn+m(z)-Sn(z)| <e для "n > N и "m>0 и " z одновременно, то ряд åuk(z)=>f(z).
Доказательство.
Необходимость.
Пусть åuk(z)=>f(z) "e >0 $ N(e): |f(z)-Sn(z)| <e /2 для "n>N(e) и "zÎg => и |f(z)-Sn+m(z)| <e /2 =>
=>| Sn+m(z)-Sn(z)| <e для "n>N и "m>0 и "zÎg.
Достаточность. Пусть для "e>0 $ N(e ): | Sn+m(z)-Sn(z)| <e для "n>N и "m>0 и "zÎg => сходится в "zÎg, т.о. в g определена f(z)= .
для "n>N(e) и "zÎg => |rn(z)| <e для "n>N(e) и "zÎg. n
Признак Вейерштрасса (достаточный признак равномерной сходимости).
Если |uk(z)|<ak, ak>0 для "k>N и "zÎg и Sak сходится, то Suk(z)=>f(z) в g.
Доказательство.
Sak сходится => "e>0 $ N(e): <e для "n>N(e)
для "n>N(e) и "zÎg. n
Примеры.
1.
2. (оценить сверху значением функции в ее максимуме)
3. (оценить сверху значением функциив ее максимуме )
4. ()
3. Свойства равномерно сходящихся рядов.
Свойства равномерно сходящихся рядов:
Теорема 14.1. (непрерывность суммы) Пусть uk(z)ÎС(g) и Suk(z)=>f(z), тогда f(z)ÎС(g).
Доказательство.
uk(z)=>f(z) Þ одновременно выполнены неравенства
|f(z+Dz)-Sn(z+Dz)|< e/3 и |f(z)-Sn(z)|< e/3 для "e>0.
uk(z)ÎС(g) Þ для "e>0 и "N $ d>0:
при |Dz|<d
Þ |Df|=|f(z+Dz)-f(z)|£
£|f(z+Dz)-Sn(z+Dz)|+|Sn(z+Dz)-Sn(z)|+|Sn(z)-f(z)| £
£e/3+e/3+e/3=e для |Dz|<d , n>N.n
Примеры
1. Ряд из непрерывных функций сходится к разрывной функции, значит сходимость неравномерная
2. аналогично
Теорема 14.2. (возможность почленного интегрирования). Пусть uk(z)ÎС(g) и Suk(z)=>f(z), G кусочно- гладкий контур GÌg конечной длины L. Тогда .
Доказательство
uk(z)=>f(z) Þ
для "e>0 $ N(e): | rn(z) |<e/L для "n>N(e)
=£<=en
Замечание. Эти два свойства равномерно сходящихся рядов с комплексными членами совершенно аналогичны свойствам равномерно сходящихся функциональных рядов с действительными членами.
Примеры.
1. Найти , если
2. Является ли непрерывной функция
3.
4.
5.
Теорема Вейерштрасса. Если uk(z)ÎC¥(g) и Suk(z)=>f(z) в любой замкнутой подобласти области g то:
1. f(z)ÎC¥(g).
2. , для "zÎg.
3. "z Î".
Доказательство
1. Рассмотрим произвольную z0Îg и построим односвязную : z0Î, в силу Теоремы 14.1 f(z)ÎС(g).
Рассмотрим произвольный контур GÌ. По Теореме 14.2 .
Т.о. для f(z) выполнены все условия Теоремы Морера Þ f(z)ÎC¥(). В силу произвольности f(z)ÎC¥(g).
Замечание. Т.к. rn(z)=f(z)-Sn(z) Þ rn(z) ÎC¥(g).
2. Рассмотрим произвольную z0Îg и произвольный контур GÌg. Обозначим .
для " zÎG, т.к.
По Теореме 14.2 это равенство можно проинтегрировать почленно
По Теореме 8.1.
.
В силу произвольности z0 утверждение 2 доказано.
Замечание. rn(p)(z)=f(p)(z)-Sn(p)(z)=.
3. Рассмотрим "и G - замкнутый контур: ÌGÌg и "zÎи "xÎG |z-x|³d>0.
rn(z) ÎC¥(g) Þ для "zÎ.
uk(z)=>f(z) Þ "e>0 $ N(e): , где L- длина G.
Тогда .
Т.о. получена равномерная оценка для остатка ряда для производных Þ .
Пример.Ряд Szk/k2 сходится равномерно в круге |z|£1, а ряд из производных Szk-1/k не может равномерно сходится в этом круг, т.к. он расходится при z=1. Ряд Szk-1/k равномерно сходится при |z|<1.
Для равномерно сходящихся функциональных рядов с действительными членами верна
Теорема 14.3. Пусть uk(x) – непрерывно дифференцируемы на отрезке [a,b] и ряд, составленный из производных - равномерно сходится на отрезке [a,b], тогда если ряд сходится хотя бы в одной точке cÎ[a,b], то он равномерно сходится на всем отрезке [a,b], его сумма непрерывно дифференцируема и .
Доказательство.
Пусть (непрерывна в силу равномерной сходимости ряда).
Найдем первообразную
для . Ряд сходится по условию теоремы Þ тоже сходится на всем промежутке.
Левая часть равенства имеет производную по x Þ$S¢(x)=s(x) и
сходится равномерно, т.к. первый ряд справа сходится равномерно, а второй не зависит от x.
Примеры.
1. Равномерно сходящийся на всей действительной оси ряд дифференцировать нельзя, так как ряд из производных расходится, например при x=0.
2. (1+1+1+1+…)¢=0+0+0+0+… Ряд, полученный в результате формального дифференцирования, сходится и даже равномерно, но дифференцирование не правомерно, т.к. исходный ряд расходится.
3. почленное дифференцирование возможно в силу равномерной сходимости ряда из производных.
§15. Степенные ряды.
Определение. Степенным рядом назовем ряд вида cn(z-z0)n, z0 -центр, cn - коэффициенты - заданные комплексные числа. При z= z0 ряд очевидно сходится. Это может быть единственная точка сходимости Sn!zn, а также ряд может сходится на всей комплексной плоскости Szn/n!. При исследовании степенного ряда важно установить область его равномерной сходимости. Как будет показано далее, область сходимости степенного ряда определяется видом его коэффициентов cn.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
На сайте allrefs.net читайте: "Неопределенный интеграл функции комплексной переменной"
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Ряды аналитических функций.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов