Теорема Тейлора. - раздел Математика, Неопределенный интеграл функции комплексной переменной Теорема Тейлора. Если F(Z)îc¥(|Z...
Теорема Тейлора. Если f(z)ÎC¥(|z-z0|<R), то $! степенной ряд
Scn(z-z0)n =>f(z) при |z-z0|<R.
Доказательство. Возьмем " z: |z-z0|<R и построим Cr - окружность радиуса r с центром в точке z0 и содержащую точку z внутри: для "xÎ Cr: | x -z0|=r, r<R, |x -z0|>|z-z0|.
Т.к. f(z)ÎC¥(|z-z0|<r ), то по интегральной формуле Коши;
Преобразуем подынтегральное выражение
Мы воспользовались формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, ведь |z-z0|/|x -z0|<1. "xÎ Cr ряд сходится равномерно по x, так как мажорируется сходящимся числовым рядом
f(z)=;
cn==f(n)(z0)/n!, что и доказывает $ и единственность разложения. n
Замечания 1) Разложение функции f(z)= Scn(z-z0)nназывают разложением функции в ряд Тейлора.
2) По теореме Коши cn= , где C - произвольный кусочно-гладкий контур, содержащий внутри себя точку z0, целиком лежащий в области аналитичности функции.
На сайте allrefs.net читайте: "Неопределенный интеграл функции комплексной переменной"
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Теорема Тейлора.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Формула среднего значения.
Пусть z0- некоторая внутренняя точка односвязной области g. Возьмем окружность CR с центром в z0 и радиусом R, CR &Igr
Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра.
Из курса действительного анализа известно, что интеграл, зависящий от параметра, можно дифференцировать под знаком интеграла, если производная подынтегральной функции по параметру непрерывна.
Числовые ряды.
Пусть дана последовательность {an} комплексных чисел.
Определение. Бесконечная сумма членов последовательности называется
Свойства сходящихся рядов.
Необходимый признак сходимости ряда. Если сходится, то an®0 .
Доказательство. У сходящегося
Критерий Коши сходимости ряда.
Для числовых последовательностей существует необходимый и достаточный признак сходимости. {Sn} сходится ó "e>0 $N(e): |Sn+m-S
Понятие правильной точки.
Пусть f(z) задана в g, за исключением может быть некоторых изолированных точек.
Точка z0Îg называется правильной точкой функци
Кольцо сходимости ряда Лорана.
Определение. Рядом Лорана называется степенной ряд вида (суммирование ведется и по положительным, и по отрицательным степ
Новости и инфо для студентов