Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра.

Все темы данного раздела:

Неопределенный интеграл функции комплексной переменной.
Если g- односвязная и f(z)ÎC¥(g), то для "z1, z2Îg не

Интегральная формула Коши.
Пусть f(z)Î C¥(). Выразим f(z0) (z0Îg) через значения f(z)

Формула среднего значения.
Пусть z0- некоторая внутренняя точка односвязной области g. Возьмем окружность CR с центром в z0 и радиусом R, CR &Igr

Существование производных всех порядков в области аналитичности функции комплексной переменной.
Пусть f(z)Î C¥(). Тогда значения f(z) во всех внутренних точках области (zÎg) можно в

Теоремы Мореры и Лиувилля.
  Теорема Мореры. Если f(z)ÎC(g), g-односвязная и для " замкнутого gÌg: , то

Числовые ряды.
Пусть дана последовательность {an} комплексных чисел. Определение. Бесконечная сумма членов последовательности называется

Свойства сходящихся рядов.
Необходимый признак сходимости ряда. Если сходится, то an®0 . Доказательство. У сходящегося

Критерий Коши сходимости ряда.
  Для числовых последовательностей существует необходимый и достаточный признак сходимости. {Sn} сходится ó "e>0 $N(e): |Sn+m-S

Достаточными признаками сходимости рядов с положительными членами являются признаки Даламбера и Коши.
Признак Даламбера. Пусть - ряд с положительными членами an>0 и $

Формула Стирлинга.
Для успешного применения радиального признака Коши полезно знать асимптотическую формулу для n!, выведенную Стирлингом при

Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
Примеры. - сходится абсолютно. - сходится условно. Ра

Признаки Дирихле и Абеля для рядов с произвольными комплексными членами.
Докажем некоторые достаточные признаки сходимости рядов. Предварительно рассмотрим одно преобразование сумм

Ряды аналитических функций.
1. Понятие функционального ряда.Пусть дана последовательность {u k(z)} функций, z Î g. Выражение

Теорема Абеля.
Теорема Абеля. Если степенной ряд Scn(z-z0)n сходится в точке z1 ¹ z0 , то он абсолютно сходитс

Теорема Тейлора.
Теорема Тейлора. Если f(z)ÎC¥(|z-z0|<R), то $! степенной ряд Scn(z-z0)

Ряды Тейлора элементарных функций.
1. (Воспользоваться Þ " k Ck=1/

Понятие правильной точки.
Пусть f(z) задана в g, за исключением может быть некоторых изолированных точек. Точка z0Îg называется правильной точкой функци

Нули аналитической функции.
Определение. Пусть f(z)ÎC¥(g); f(z0)=0, z0Îg, тогда z0 - нуль аналитической ф

Если бы все точки границы были бы правильными, то
"x: |x-z0|=R- граница круга сходимости $r(x)>0: "z |x-z|<r(x), т.е. з

Кольцо сходимости ряда Лорана.
Определение. Рядом Лорана называется степенной ряд вида (суммирование ведется и по положительным, и по отрицательным степ

Теорема о разложении функции комплексной переменной, аналитической в круговом кольце в ряд Лорана.
Теорема (теорема Лорана) Если f(z)ÎC¥(R2<|z-z0|<R1), то она однозн

Ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.
Определение. Степенной ряд вида , сходящийся во круговом кольце