Теоремы Мореры и Лиувилля. - раздел Математика, Неопределенный интеграл функции комплексной переменной
Теорема Мореры. Если F(Z)îc(G), G-...
Теорема Мореры. Если f(z)ÎC(g), g-односвязная и для " замкнутого gÌg: , то f(z)Î C¥(g).
Доказательство. При условиях теоремы $ Î C¥(g) (Теорема 6.1.), где z0 и z- произвольные точки g, а интеграл берется по " пути внутри g, соединяющему эти точки. При этом F'(z)=f(z). Но производная аналитической функции сама является аналитической функцией (Теорема 8.1), в частности $ F"(z)= f '(z) ÎC(g).
Теорема Лиувилля. Если f(z)- аналитическая на всей комплексной области и $ M: |f(z)|M, f(z) º const.
Доказательство. Выразим значение f '(z) в произвольной точке z через значения функции на окружности радиуса R с центром в точке z
.
На CR: |x -z|=R. По условию теоремы $ M: |f(x)|M не зависимо от R=>
Устремив R®¥, получим |f '(z)|=0 Þ f(z)=const для " z.
Замечание. Отсюда, в частности следует, что $ z: |sin(z)|>1.
На сайте allrefs.net читайте: "Неопределенный интеграл функции комплексной переменной"
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Теоремы Мореры и Лиувилля.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Формула среднего значения.
Пусть z0- некоторая внутренняя точка односвязной области g. Возьмем окружность CR с центром в z0 и радиусом R, CR &Igr
Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра.
Из курса действительного анализа известно, что интеграл, зависящий от параметра, можно дифференцировать под знаком интеграла, если производная подынтегральной функции по параметру непрерывна.
Числовые ряды.
Пусть дана последовательность {an} комплексных чисел.
Определение. Бесконечная сумма членов последовательности называется
Свойства сходящихся рядов.
Необходимый признак сходимости ряда. Если сходится, то an®0 .
Доказательство. У сходящегося
Критерий Коши сходимости ряда.
Для числовых последовательностей существует необходимый и достаточный признак сходимости. {Sn} сходится ó "e>0 $N(e): |Sn+m-S
Понятие правильной точки.
Пусть f(z) задана в g, за исключением может быть некоторых изолированных точек.
Точка z0Îg называется правильной точкой функци
Кольцо сходимости ряда Лорана.
Определение. Рядом Лорана называется степенной ряд вида (суммирование ведется и по положительным, и по отрицательным степ
Новости и инфо для студентов