Временной ряд как случайный процесс

 

Пусть значение экономического показателя x( t ) в любой момент времени t представляет собой случайную величину X (t ). Предположим, что случайная величина
X (t) является непрерывной. Тогда существует плотность вероятности f (x,t), по которой определяется вероятность случайного события

.

Рассмотрим также математическое ожидание

 

(9.1)

и дисперсию

. (9.2)

Если плотность вероятности f ( x,t )=f (x) не зависит от времени, то математическое ожидание и дисперсия будут постоянными величинами.

Рассмотрим два произвольных момента времени t₁ и t₂. Случайные величины X (t₁) и
X (t₂ ) харатеризуются плотностью совместного распределения вероятностей
f (x₁,t₁; x₂,t₂). При этом ковариация cov (X(t₁),X(t₂)) вычисляется по формуле

 

.

Аналогично рассматривается значение случайного процесса X (t) в трех, четырех и более точках t_k, при этом вводится многомерная плотность распределения f (x₁,t₁; x₂,t₂; …, x_m,t_m,).

Случайный процесс называется стационарным, если при сдвиге по времени на произвольную величину T функция распределения (а значит и плотность) не изменится . В этом случае плотность f (x,t) не зависит от времени: f (x,t) = f (x,t+T) = f (x,0), а двумерная плотность f (x₁, t₁; x₂, t₂) зависит от разности t = t₁-t₂. Введя автокорреляционную функцию случайного процесса K(t )=cov(X(t),X(t+t)) , можно доказать, что для нее выполняются следующие свойства:

1) K(-t ) = K(t );

2) |K(t )|£ K(0);

3) K (0 ) = DX.
Иногда функцию K(t ) называют автоковариационной, а термин «автокорреляция» связывают с нормированной величиной r (t )= K(t )/ K(0).

Напомним, что для стационарного случайного процесса математическое ожидание
m = EX(t) и дисперсия DX = E(X(t)- m)² являются постоянными величинами. Если о случайном процессе известно, что EX и DX постоянны, а корреляционная функция зависит только от t ( и не зависит от t), то случайный процесс называется стационарным в широком смысле.

Пусть значения временного ряда x_t ( t = 1,2,...n) являются равноотстоящими по времени значениями стационарного случайного процесса X(t) с математическим ожиданием μ = EX(t) и корреляционной функцией K(τ) = E(X(t),X(t+τ)), при этом дисперсия DX = K(0) º σ². Несмещенной оценкой величины m является среднее по времени

В качестве оценки корреляционной функции K(τ) при t = 0,1,2,...n-1 принимается величина

 

Важной характеристикой стационарного случайного процесса является спектральная плотность

. (9.3)

 

Из (9.3) следует, что

.

 

Вследствие четности функции K(t) справедлива формула:

.

Для S(ω) принимается оценка

,

где весовые коэффициенты W_j вводятся для сглаживания случайных осцилляций вычисляемых значений S(ω). На практике вычисление корреляционных функций и спектральной плотности выполняется с использованием статистических компьютерных пакетов, например, системы STATISTICA.

.