В эконометрике анализ временных рядов с использованием оценки спектральной плотности (спектральный анализ) играет, как правило, вспомогательную роль, помогая установить периоды характерных циклов. Наибольшее распространение получили параметрические модели стационарных случайных процессов – модели авторегрессии и скользящего среднего.
Пусть Xt – значения стационарного случайного процесса, m = EXt, xt = Xt -m.. Введем случайный процесс x(t) ÎN(0,s2), для которого Ext = 0, Dxt= s2, Extxt-t= 0 (t¹0). Случайный процесс xt будем называть белым шумом. В шкале непрерывного времени ему отвечает обобщенный случайный процесс x(t), спектр плотности которого S(τ) = const, при этом корреляционная функция K(τ) = 0 при τ ≠ 0. При τ = 0 корреляционная функция принимает бесконечно большое значение, точнее, K(τ) = s2δ(τ) , где δ(τ) – функция Дирака.
Модель авторегрессии – скользящего среднего (АРСС или ARMA, английское – Auto Regression - Moving Average) имеет вид
xt+a1xt-1+a2xt-2 + ….+ am xt-m = ξt +b1ξ t-1+…+bn ξt-n , (10.1)
числа m и n определяют порядок модели ARMA (m,n). Равенство (10.1) можно записать короче, используя оператор сдвига по времени
Q xt = xt-1, Qs xt = xt-s
и операторы-многочлены в (10.1)
a(Q) = 1+a1Q+ a2Q2+…+amQm
b(Q) = 1+b1Q+b2Q2+…+bnQn
В этих обозначениях модель (10.1) запишется в виде
a(Q) xt = b(Q) ξt . (10.2)
Рассмотрим важные частные случаи. Модель AR(1) авторегрессии I порядка имеет вид
xt+a1xt-1 = ξt . (10.3)
Этой дискретной статистической модели соответствует дифференциальное уравнение I порядка в шкале непрерывного времени
.
Модель AR(2) авторегрессии II порядка имеет вид
xt+a1xt-1+ a2xt-2= ξt . (10.4)
Её аналогом в непрерывной шкале будет дифференциальное уравнение II порядка
.
Можно показать, что процесс xt , вычисляемый по дискретной модели (10.3), (10.4),
будет стационарным при условии, что корни функций комплексного переменного
z= x+iy, составленных по правилам φ1(z) = 1+a1z для AR(1) и φ2(z) = 1+a1z + a2z2 для AR(2), удовлетворяют условию |z| > 1 .
После замены z = 1/ζ получим уравнения
ζ+a1 = 0; ζ2+b1ζ+b2 = 0,
корни которых должны лежать внутри круга единичного радиуса |ζ|<1 (иначе процесс не будет стационарным).
В общем случае модели ARMA (m,n) условие стационарности |z| > 1 должно выполняться для корней функции
При изучении нестационарных временных рядов часто используется более общая модель ARIMA(m,d,n) – модель авторегрессии–проинтегрированного скользящего среднего, в русской аббревиатуре - АРПСС. По сравнению с ранее обсуждавшимися моделями модель ARIMA предполагает d– кратное применение оператора конечных разностей
xt = yt - yt-1 = (1-Q) yt (10.5)
к исходному временному ряду. Операция (10.5) устраняет линейный тренд. Действительно, если yt=а+bt, то yt-1=а+b(t-1) и xt= b. Повторяя эту операцию несколько раз, можно получить (с некоторым приближением) стационарный временной ряд, который описывает модель ARMA. При восстановлении исходного ряда производится суммирование его членов, что соответствует интегрированию в непрерывном времени. Последнее обстоятельство проясняет смысл названия модели ARIMA.