Обобщение модели ARIMA, позволяющие учесть периодические (сезонные) составляющие временного ряда было предложено Дж. Боксом и Г. Дженкинсом [2]. Этот метод реализован в системе статистической обработки данных STATISTICA, поэтому мы коротко его опишем.
Пусть ряд xt имеет период S , так, что xt = xt-s . Модель Бокса-Дженкинса имеет вид
A(QS) Ñ DS xt = B(QS)ζt (11.1)
a(Q) Ñ d xt = b(Q)xt , (11.2)
где QSxt = xt-s , Ñ S xt = xt - xt-s = (1- QS )xt ,
A(Q)= 1+A1 Q+A2 Q2+…AM QM
B(Q)= 1+B1 Q+B2 Q2+…BN QN
Из формул (11.1), (11.2) видно, что модели характеризуются двумя тройками чисел (M,D,N) и (m,d,n). Ряд ζt введен для удобства, в принципе его можно исключить. Например, пусть M = m = 0, N = n = 1, D = d = 1, S = 12. Модель (11.1), (11.2) примет вид
Ñ12xt= ζt+B1ζt-12
Ñζt = xt+b1xt-1 (11.3)
Но Ñ 12 xt = xt-xt-12, Ñ ζt = ζt-ζt-1 Поэтому
xt-xt-12 = ζt+B1ζt-12 (11.4)
xt-1-xt-13 = ζt-1+B1ζt-13 (11.5)
Теперь вычтем (11.5) из равенства (11.4):
xt-xt-12- xt-1+xt-13 = ζt- ζt-1 +B1(ζt-12- ζt-13).
Используя формулу (11.3), получим окончательно
xt-xt-12- xt-1+xt-13 = xt +b1xt-1+ B1(xt-12+ b1 xt-13).
Коэффициенты b1, B1 можно подобрать по данным xt . В примере, приведенном в книге [2], оказалось, что b1 = -0,4; B1 = - 0,6.