Эмпирические данные часто подвергаются математической обработке – над ними
выполняются арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления, в некоторых случаях производится логарифмирование, возведение в степень и др. Как это может сказаться на погрешности результата?
Покажем, что абсолютная погрешность суммы не превосходит суммы абсолютных погрешностей слагаемых. Пусть S=x+y, причем слагаемые x, y известны с абсолютной погрешностью ex, ey, так что
,
где a и b – точные значения слагаемых. Для вычисления абсолютной погрешности суммы S оценим разность:
.
Ясно, что в качестве предельной абсолютной погрешности суммы можно принять величину
eS=ex+ey . (14.1)
Аналогично проверяется, что абсолютная погрешность разности двух чисел d=x-y равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого: ed=ex+ey. Заметим, что если числа x и y мало отличаются между собой, относительная погрешность их разности dd=ed / |x-y| может оказаться весьма большой.
При вычислении суммы S=x1+x2+…+xn большого числа слагаемых, имеющих одинаковую абсолютную погрешность e, в соответствии с формулой (14.1) имеем
eS=ne . (14.2)
При n>>1 величина eS может оказаться довольно большой. Но эта оценка получается в
предположении, что ошибки всех слагаемых максимальны и имеют одинаковый знак, что представляется мало вероятным. Более естественным выглядит предположение, что ошибка e является случайной и распределена по нормальному закону , причем ошибки отдельных слагаемых являются независимыми случайными величинами. По правилу вычисления дисперсии сумма независимых случайных величин находим, что: или , так что .
При больших n (например, n=100) статистическая оценка дает значительно меньшее значение, чем предельная (14.2). Напомним, что отклонение случайной величины S от истинного значения более чем на 2sS возможно с вероятностью 0,045 (4,5%), а на 3sS – с вероятностью 0,003 или 0,3%.
Для вычисления погрешности произведения и частного двух положительных чисел x, y рассмотрим сначала общий случай функции двух переменных u= f(x,y) (аналогично рассматривается случай функций многих переменных).
Пусть переменная x известна с погрешностью ex, переменная y – с погрешностью ey. Приращение функции Du заменим дифференциалом
, (14.3)
полагая величины ex и ey достаточно малыми. Отсюда следует, что абсолютная погрешность eu функции u оценивается по формуле:
. (14.4)
В статистической теории предполагают ошибки ex и ey независимыми случайными величинами. Для дисперсии величины du имеем формулу
. (14.5)
В случае произведения двух положительных чисел u=xy формула (14.4) дает оценку
, (14.6)
а по формуле (14.5) получим
. (14.7)
Для относительной погрешности произведения d u=e u / xy из формулы (14.6) следует, что
du=dx+dy , (14.8)
а из формулы (14.7) :
. (14.9)
Пусть надо перемножить n положительных чисел x1, x2, …, xn, заданных с одинаковой относительной погрешностью d. Формула (14.8) дает оценку du=nd , а по формуле (14.9) получаем .
Нетрудно убедиться в том, что для относительной погрешности частного U=x/y двух положительных чисел x, y также справедливы формулы (14.8) и (14.9).
Если требуется найти значение функции U=f(x) одной переменной x, то вместо формулы (14.3) имеем (в первом приближении) так что . Такой же результат следует из статистического анализа:
.