ЛЕКЦИЯ 1

Последовательность наблюдений (существенность порядка, в котором следуют эти наблюдения) называется временным рядом (ВР).

Временной ряд непрерывный, если время измеряется непрерывно.

Временной ряд дискретный, если время измеряется дискретно. В зависимости от способа получения измерений дискретности имеем:

· моментальный ВР

· интервальный ВР

Моментальный временной ряд - выборка из непрерывного временного ряда. Пример - численность населения.

Если временной ряд получен в результате накопления значения элементов, то это интервальный временной ряд. Пример - динамика выпуска продукции.

Детерминированный временной ряд, если будущее значение точно описывается какой-либо математической функцией.

Если временной ряд может быть получен только с помощью распределения вероятности, то это случайный временной ряд. Случайный временной ряд - это лишь одна частная реализация стохастического (развивается во времени согласно законам теории вероятности) процесса. В каждый момент времени t наблюдения . Всякий временной ряд полезно рассматривать как смесь, совокупность нескольких компонент:

· тренд - долговременная статистическая составляющая, главная, ведущая все изменения;

· периодическая составляющая (в частности - сезонная);

· нерегулярная (кратковременная, систематическая) составляющая;

· случайная компонента.

Если их объединить: , где - детерминированная составляющая, а - белый шум.

Существует несколько разновидностей тренда:

 

Тренд среднего (колебания вокруг среднего значения)	Тренд дисперсии (колебания относительно среднего по расширяющимся или сужающимися коридору)

Стационарный процесс - процесс, который находится в определенном статистическом равновесии.

Статистическое равновесие имеет место в случае, если свойства изучаемого процесса с вероятностной точки зрения не зависят от времени.

Если совместное распределение вероятностей точек случайной величины инвариантно по отношению к общему сдвигу временного аргумента, т. е. совместное распределение случайных величин в моменты времени точно такое, как совместное распределение в моменты времени для любых k, то процесс строго стационарен.

Условно ВР (временной ряд) можно считать стационарным, если неизмененными во времени являются моменты первого и второго порядка.

Мы будем иметь дело со слабо стационарными процессами.

Стационарность второго порядка.

- неизменна дисперсия

- автоковариация неизменна

в случае стационарности

и не зависят от t а зависят только от k.

 

Вид ковариационной матрицы для стационарного процесса (m измерений в течение n периода времени: - наблюдения):

.

 

Автокорреляционная функция - последовательные значения коэффициентов автокорреляции.

Само понятие тенденции не является строгим. Виды тенденций:

1) Полиномиальный тренд. Описывается с помощью полинома: , (1)

2) Экспоненциальный тренд. , где - “белый шум” - нерегулярная компонента.

3) Гармонический тренд (см. спектральный гармонический анализ)

4) Логистическая кривая.

Для 1 и 2 легко строится регрессия. Когда подбираем тенденцию возникает вопрос: на какой степени остановиться? Если полином с низкой степенью, то есть опасность смешения, с другой стороны, если увлечься подробностью, то не подходит минимальность дисперсии. Где золотая середина? Критерием выбора степени полинома может служить стационарность остатков, полученных после исключения тренда.