МОДЕЛИ СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО

Модель авторегрессии (2) выражает отклонение процесса в виде конечной взвешенной суммы p предыдущих отклонений процесса плюс случайный импульс . Равным образом, как было показано, она выражает как бесконечную взвешенную сумму e.

Другой тип моделей, имеющих большое значение в описании наблюдаемых временных рядов, - это так называемый процесс скользящего среднего, когда линейно зависит от конечного числа q предыдущих e.

Такой процесс

(5)

называется процессом скользящего среднего (СС) порядка q. Название “скользящее среднее” слегка вводит в заблуждение, т.к. веса , на которые умножаются e, не обязаны давать в сумме единицу, или хотя бы быть положительными. Однако из-за общеупотребительности этого термина мы будем его придерживаться.

Если мы определим оператор скользящего среднего порядка q как

, (6)

то модель скользящего среднего можно сжато записать так:

(7)

Она содержит q+2 неизвестных параметра: , которые способны оцениваться по наблюдениям. Отсюда следует, что процесс скользящего среднего можно трактовать как выход линейного фильтра с передаточной функцией , на выход которого поступает белый шум .

Рассмотрим модель:

(8)

в которой при j>1. Выражая через , получим:

,

отсюда:

и, выражая отклонения через прошлые отклонения, получим:

(9)

Т.е. конечный процесс скользящего среднего может быть записан как бесконечный процесс авторегрессии. Поэтому, если процесс действительно типа СС(1), его представление в виде процесса авторегрессии невозможно. Аналогично процесс АР(2) не может быть экономично представлен с помощью скользящего среднего.

На практике для получения экономичной параметризации иногда бывает необходимо включить в модель как члены, описывающие авторегрессию, так и члены, моделирующие скользящее среднее.

Такой процесс:

(10)

или:

(11)

Называется смещенным процессом авторегрессии скользящего среднего порядка (p, q), и иногда сокращенно обозначается нами АРСС(p, q). Например, процесс авторегрессии - скользящего среднего порядка (1, 1) АРСС(1, 1) имеет вид:

(12)

Т.к. (11) можно записать в виде:

, (13)

Смешанный процесс авторегрессии - скользящего среднего можно интерпретировать как выход линейного фильтра, передаточная функция которого есть отношение двух полиномов, на вход которых подается белый шум e.