Если значения все равны нулю, оцениваемая дисперсия равна константе

Т.к. не могут быть отрицательными, минимальное значение условной дисперсии будет равно .

2. Безусловная средняя и безусловная дисперсия могут быть получены решением разностного уравнения (6) и последующим вычислением математического ожидания. Если процесс начался достаточно давно, решение для , после использования оператора сдвига назад, есть:

(7)

Если , безусловное математическое ожидание равно .

Безусловная дисперсия может быть получена аналогично, с учетом того, что

Из того, что безусловная дисперсия - константа, т.е. , следует, что

Видно, что дисперсия увеличивается как с ростом , так и в зависимости от коэффициента .

GARCH

Теперь преобразуем модель (1), используя бесконечный геометрический лаг:

Отсюда следует, что или

(8)

Эта модель носит название GARCH(1). Как ARCH похожа на AR, так и GARCH похожа на ARMA.

Модель GARCH предложена Боллерслевом (Tim Bollerslev, 1986 г). Обобщенная ARCH-модель включает и авторегрессионную компоненту, и элементы скользящего среднего.

GARCH(p,q) имеет вид:

(9)

В операторной форме:

При q=0 этот процесс превращается в ARCH(p)-процесс, а при p=q=0 – просто в белый шум.

Если в ARCH(p) процессах условная дисперсия специфицируется как линейная функция только от прошлых квадратов ошибок (выборочных дисперсий), в то время как GARCH(p,q)-процесс (допускает) включает также лаговые условные дисперсии.

GARCH():

(10)

(11)

К уравнению, рассчитывающему условное математическое ожидание , добавляется второе рекуррентное уравнение, позволяющее рассчитывать условную дисперсию.

(12)

Подобная формулировка называется ARMA(p,q) с ошибкой GARCH() она содержит две последовательные репрезентации: ARMAL(10) для и (12) для .

Из (11) следует, что . Произведя замену в (12), получаем репрезентацию ARMA для в форме:

(13)

Методы оценки моделей ARCH подразделяются на два основных типа.

Процедуры первого типа оценивают параметры уравнений (10) и (12). Сначала используется метод оценки ARMA-параметров уравнения (10), находятся остатки и их квадраты . Затем используется интерпретация ARMA для квадратов ошибок (13), которая оценивается тем же методом.

Подходы второго типа оценивают одновременно параметры обоих уравнений. Они основаны на методе правдоподобия при предположении нормальности условного закона распределения []. Эти методы отличаются высокой эффективностью и точностью оценок.

В 1987 году Энгл, Лильен и Робинс предложили модель ARCH-M (ARCH in mean). В ней уравнение (10) модифицируется вводом добавочной неявной переменной

(14)

Модель ARCH-M обычно оценивается тем же методом максимума правдоподобия при предположении нормальности, но ее оценка осложняется по причине ненаблюдаемости переменной , присутствующей в первом уравнении, и наличия параметров .

Энгл, Лилбен и Робинс расширили базисную ARCH структуру, допустив зависимость значений исследуемого показателя от его собственной условной дисперсии. Этот класс моделей создан специальным образом для изучения рынка ценных бумаг.

Как показали Састри Пантула (Sastry Pantula) и анонимный эксперт, эквивалентное представление GARCH(p,q)-процесса может быть дано в виде:

, (15)

где .

Заметим, что по определению, - сериально нескоррелированы с нулевым средним. Таким образом, GARCH(p,q)-процесс может быть интерпретирован как ARMA(m,q)-процесс, где .

Хотя параметрация типа (9), (13) более выразительна с точки зрения теоретических временных рядов, на практике легче работать с (10), (12).

ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ

Примеры с детерминированными трендами:

- линейный тренд

- полиномиальный тренд.

Любое из этих уравнений может быть расширено лаговыми значениями последовательности или последовательности .

Стохастические тренды нам пока не знакомы.

МОДЕЛЬ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ

Рассмотрим модель

(1)

являющаяся частным случаем AR(1)-процесса ().

Если - известное начальное условие, общее решение уравнения может быть представлено в виде так называемой модели случайного блуждания (random walk model)

взяв математические ожидания, мы получаем:

т.е. среднее значение случайного блуждания равно константе. Однако все стохастические изменения (скачки) имеют неослабевающее влияние на последовательность . Если известны первые t реализаций процесса (последовательности) , условное математическое ожидание равно

Аналогично, условное математическое ожидание (для любых S>0)

так что

Условный математические ожидания для всех значений (S>0) равны .

Однако колебания (скачки) (имеют) оказывают неослабевающее воздействие на последовательность . Заметим, что дисперсия зависит от времени

Поэтому

.

Т.к. дисперсия – не константа (), процесс случайного блуждания (не является стационарным) нестационарен. Более того, при , дисперсия также стремиться к бесконечности.

Итак, случайное блуждание “извивается”, “бродит” без какой-либо явной тенденции к увеличению (росту) или снижению.

Любопытно рассматривать ковариацию между и . Так как среднее значение – константа, можно записать:

Таким образом, коэффициент корреляции равен:

(2)

Этот результат играет важную роль в исследовании нестационарных рядов.

Для небольших значений приблизительно равно 1. По мере увеличения S значение медленно уменьшается, следовательно, в выборочных данных, автокорреляционная функция процесса случайного блуждания имеет слабую тенденцию к затуханию.

Таким образом, невозможно использовать автокорреляционную функцию для дифференциации процессов с единичным корнем () и процессов, в которых близко к единице. На стадии идентификации Бокса-Дженкинса слабозатухающие автокорреляционные функции могут являться ….

СТОХАСТИЧЕСКИЙ ТРЕНД

МОДЕЛЬ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ С ДРЕЙФОМ

УСТРАНЕНИЕ ТРЕНДА

КОИНТЕГРАЦИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЕДИНИЧНЫХ КОРНЕЙ МЕТОДОМ ДИКИ-ФУЛЛЕРА