УСТРАНЕНИЕ ТРЕНДА

Обычные метода устранения тренда:

a) Дифференциация (переход к разностям)

b) Детрендизация

Детрендизация представляет собой построение регрессии по “времени” и получение остатков. Мы уже испытывали ARIMA(p,d,q), в которой d-тая разность рядов стационарна. Цель этого раздела – сравнить эти два метода исключения тренда.

 

ДИФФЕРЕНЦИАЦИЯ (переход к разностям)

Сначала рассмотрим решение модели случайного блуждания с дрейфом:

Взяв первые разности, получаем . Ясно, что последовательность - равная константе плюс распределение белого шума – стационарна. Рассматривая как интересующую переменную, имеем:

Интересен случай модели случайного блуждания с шумом. В первых разностях модель может быть записана как . В такой форме легко показать, что стационарна. Заметим следующее:

При S=1, коэффициент корреляции между равен

Исследование обнаруживает, что и что все другие коэффициенты корреляции равны нулю.

Т.к. первые разности ведут себя точно как MA(1) процесс, модель случайного блуждания с шумом – это ARIMA(0,1,1).

Т.к. добавление константы не влияет на коррелограмму, то это означает, что модель тренда с шумом также ведет себя как ARIMA(0,1,1) процесс.

Модель локального линейного тренда ведет себя как ARIMA(0,2,2).

Взяв первые и вторые разности в этой модели, получим:

так что

Т.к. само по себе нестационарно, можно легко показать, что первая разность нестационарна. Исследуя , заметим:

Все остальные ковариации равны нулю. Т.к. локальная линейная трендовая модель ведет себя как ARIMA(0,2,2).

 

ДЕТРЕНДИЗАЦИЯ (взятие разности)

Мы показали, как может быть иногда дифференциация (переход к разности) использована для превращения нестационарной модели в стационарную модель в виде ARMA. Это не значит, что все нестационарные модели могут быть превращены в благополучные ARMA модели взятием разности.

Рассмотрим, например, модель, которая является суммой детерминированного тренда и чистого шума:

Первая разность не очень хорошо себя ведет т.к.

Здесь необратима в том смысле, что не может быть выражена в форме авторегрессионного процесса. Обратимость стационарного процесса требует, чтобы MA-компонента не имела единичного корня.

Вместо этого приемлемый путь для трансформации этой модели – оценить уравнение регрессии:

Вычитание оценочных значений из фактических значений дает .

В общем случае временной ряд может иметь полиномиальный тренд.

Процесс, полученный после устранения тренда может быть подвергнут моделированию использованием традиционных методов, таких, как ARMA-оценивание.

Теперь рассмотрим общий класс ARIMA(p,d,q) моделей

где - полиномы лагового оператора L.

В начале предположим, что A(L) имеет единственный единичный корень, а B(L) имеет все корни вне единичного круга. Смысл в том, что первая разность процесса с единичным корнем стационарна. Если A(L) имеет два единичных корня, тот же самый аргумент может быть использован, чтобы показать, что вторая разность стационарна. В общем случае d-тая разность процесса с d единичными корнями стационарна. ARIMA(p,d,q) имеет d единичных корней; d-тая разность такой модели - стационарный ARMA(p,q) процесс. Если процесс имеет d единичных корней, говорят, что он интегрирован порядка d, или просто I(d).