Математическая cтатистика

ИДА Кривой Рог IBM

Частное Учебное Заведение

Институт Делового Администрирования

Private Educational Institution

Institute of Business Managment

Кафедра информационных систем

и

высшей математики

Математическая cтатистика

 

@ Конспект лекций ?

для специальностей УА, ФК 1995

 

© Г.И. Корнилов $

 

 

ÿ 1997 ÿ

 

 

Введение в курс

 

Основные определения

В нашем курсе, который можно считать введением в курс “Экономическая статистика”, речь будет идти о так называемой прикладной статистике, - т.е.… Великому американскому сатирику О’Генри принадлежит ироническое определение… Практически всему живому на земле присуще воспринимать окружающую среду как непрерывную последовательность фактов,…

Вероятности случайных событий

Поэтому необходимо иметь и другое, отвечающее требованиям практической работы, определение термина “вероятность”. Это определение можно дать на… Если мы интересуемся событиемA, то, скорее всего, можем наблюдать, фиксировать… Интуиция подсказывает, что частота наступления случайного события зависит не только от степени случайности самого…

Распределения вероятностей случайных величин

 

Шкалирование случайных величин

Прежде всего, надо учесть тот факт что все физические величины (вес, расстояния, площади, объемы и т.д.) теоретически могут принимать бесчисленное… Вместе с тем надо не забывать, что некоторые СВ просто не имеют… Покажем, что для решения вопроса о “единицах измерения” любых СВ, с которыми приходится иметь дело в прикладной…

Законы распределений дискретных случайных величин.

В самом деле, - такой ряд содержит всю информацию о СВ, это максимум наших знаний о ней. Другое дело, - откуда мы можем получить эту информацию, как… Точно также, как и для вероятности случайного события, для закона… Заметим, что во втором случае нас будет ожидать новый вопрос, - а какова уверенность в том, что наша гипотеза верна?…

Односторонние и двухсторонние значения вероятностей

· какова вероятность того, что случайная величина X окажется равной (или наоборот – не равной) некоторому значению, например – Xk ? · какова вероятность того, что случайная величина X окажется больше (или… · какова вероятность того, что случайная величина X окажется не меньше Xi и при этом не больше Xk ?

Моменты распределений дискретных случайных величин.

Не будет лишним помнить, что этот закон (или просто – распределение случайной величины) можно задать тремя способами: · в виде формулы: например, для биномиального распределения при n=3 и p=0.5… · в виде таблицы значений величины и соответствующих им вероятностей:

Распределения непрерывных случайных величин

Но теория и практика статистики требуют использовать понятие непрерывной СВ ­– допускающей любые числовые значения на шкале типа Int или Rel . И… Математическое ожидание, дисперсия и другие параметры любых СВ практически… Так обстоит дело в теории. На практике же, мы имеем только одно – ряд наблюдений над случайной (будем далее полагать –…

Нормальное распределение

Для вычисления вероятности того, что X лежит в заранее заданном диапазоне, получено выражение, которое называют интегралом вероятности: P(a £ X £ b) = Обратим внимание на то, что в это выражение входят две константы (параметра) m и s. Как и для любой (не обязательно…

Распределения выборочных значений параметров нормального распределения

· величина имеет нормированное нормальное распределение, что позволяет оценивать Mx при заранее известной дисперсии; · величина имеет так называемое распределение Стьюдента, для которого также… · величина имеет распределение "хи–квадрат", также с аналитической функцией плотности и рассчитанными по ней…

Взаимосвязи случайных величин

Парная корреляция

Выше говорилось о том, что если для двух случайных величин X и Y имеет место равенство P(X ÇY) = P(X)·P(Y), то эти величины считаются… Ведь всегда важно знать: насколько зависит одна СВ от другой? Дело не только в… Для числовой оценки взаимосвязи между двумя СВ: Y – с известными M(Y) и sy

Множественная корреляция

Пусть X, Y и Z – случайные величины, имеющие математические ожидания M(X), M(Y), M(Z) и среднеквадратичные отклонения sx ,sy, sz соответственно.… Но этого явно недостаточно – ведь мы на каждом из трех этапов попросту…

Проверка статистических гипотез

 

Понятие статистической гипотезы

Скажем, для некоторой экономической задачи требуется знание длины очереди автомашин, ожидающих технического обслуживания, а эта величина хоть и… Очень редко задачи такого рода имеют “теоретическую платформу” – хотя бы в… Выражаясь чисто научным языком, современный подход к статистическим задачам в последние два десятилетия заключается в…

Критерии статистических гипотез

Так вот, решающее правило, согласно которому мы будем действовать, принято называть статистическим критерием. К сожалению, не существует единого,… Вместе с тем, любому критерию значимости присуще одно и то же свойство – во… Еще более непривычным для человека с навыками искать и находить ответы в расчетных задачах, будет сама форма ответа на…

Ошибки при проверке статистических гипотез

Выбирая окончательно в качестве рабочей одну из гипотез ­– нулевую или альтернативную, мы используем следующую логическую схему (алгоритм):  

Выборочные распределения на шкалах Int и Rel

 

Оценка наблюдений при неизвестном законе распределения

Попытаемся всё же сформулировать ответ применительно к конкретной обстановке – при статистических расчетах в экономических системах. В таких системах основные числовые показатели “жизни” системы в целом и… · продукция, с конкретными ее показателями (вес, объем, количество и т.д.), ­– величинами на шкале Int или Rel;

Оценка наблюдений при известном законе распределения

Не всегда закон распределения СВ представляет для нас полную тайну. В ряде случаев у нас могут быть основания предполагать, что случайные события, определяющие наблюдаемые нами значения этой величины, подчиняются определенной вероятностной схеме.

В таких случаях использование методов выдвижения и проверки гипотез даст нам информацию о параметрах распределения, что может оказаться вполне достаточно для решения конкретной экономической задачи.

 

Оценка параметров нормального распределения

Напомним себе также, что у нормального распределения всего два параметра – математическое ожидание m и среднеквадратичное отклонение s. Пусть мы произвели 40 наблюдений над такой случайной величиной X и эти…  

Оценка параметров дискретных распределений

Начнем с наиболее простого случая. Пусть у нас есть основания считать, что случайная величина X может принимать целочисленные значения на интервале… P(X=k)=pk(1– p)n-k, т.е. распределена по биномиальному закону. Так вот, – единственный параметр p этого распределения нас как раз и…

Выборочные распределения на шкале Nom

Для подобных СВ не существует понятий математического ожидания, как и других моментов распределения. Но понятие закона распределения имеет смысл ­–… 6.15.1 Случай двухзначной случайной величины, N<50 Пусть нам крайне важно оценить "симметричность" некоторой случайной величины на номинальной двухпозиционной…

Случай многозначной случайной величины

В таких задачах обычно используется все тот же критерий c2 с числом степеней свободы более одной. По сути дела, используют почти ту же формулу – c2 = å, {6–2} в которой просто не используется поправка на… Так, например, наблюдая численности покупок четырех категорий некоторого товара, мы могли зафиксировать следующие…

Введение в комбинаторику

При изучении курса математической статистики приходится использовать методы одного из разделов математики, который хотя формально и не относится к высшей, вузовской математике, но, к сожалению, не изучается в средней школе.

Этот раздел – комбинаторика, “наука о способах подсчета вариантов”. Эта наука имеет тот же, примерно 300 летний возраст, что и сама статистика. Комбинаторика – сверстница теории вероятностей, теоретического фундамента прикладной статистики. Как и в древней, в современной статистике невозможно обойтись без навыков просчитывать в уме или, по крайней мере, быстро, по простым формулам, варианты событий, размещений предметов, значений величин и т.п.

Замечание о расчетах в уме сделано не случайно. Знание основ комбинаторики позволит хотя бы оценивать числа вариантов и соотношения между ними также “профессионально” как и делаете это вы, оценивая возраст встреченного человека.

В этом плане комбинаторику можно называть “логикой вариантов” и это будет вполне резонно ­– в этой науке больше чистой логики, чем математики.

Для демонстрации необходимости знаний комбинаторики и в качестве первой практической задачи рассмотрим несколько простых, практических вопросов.

· Вам, очевидно, известно, что внутренний, “машинный” язык компьютера люди построили по образу и подобия человеческого языка: буквы, слова, предложения.

Обстоятельства надежности записи и чтения на этом языке привели к решению сделать компьютерный язык предельно бедным. В нем всего две буквы (“0” и “1”, “+ " и “–”, “да” и “нет”, ­– в зависимости от физического процесса записи), всегда 8 букв в слове, отсутствует пробел между словами (это была бы третья буква).

И вот возникает вопрос ­– а сколько вариантов у машинного слова, т.е. у одного байта? Еще проще – если одним байтом записывать числа, то сколько положительных целых чисел можно охватить 1 байтом? В поисках ответа можно терпеливо выписывать все возможные варианты слов из 8 нулей и единиц: 00000000, 00000001, 00000010 и т.д. до 11111111. Но ведь это долго и надо быть уверенным, что ничего не пропустили!

Так вот – законы комбинаторики позволяют мгновенно ­решить эту задачу и получить ответ – вариантов записи байта ровно 256.

Это чисто практический вопрос – ведь компьютер с возможностью считать в целых числах от –128 до 127 никто не купит.

Ну, если целые числа хранить в 2-х машинных словах, в 2-х байтах или в 16 “разрядах”.? Уж это новое число вариантов никто не согласится вычислять простым перебором! А ответ комбинаторики все тот же прост – в этом случае есть возможность работать с целыми числами от –32768 до 32767.

Оказывается, что эти числа не надо запоминать, поскольку алгоритм их расчетов очень прост и посилен человеку, осилившему только арифметику.

· Рассмотрим второй пример решения практического вопроса с использованием правил комбинаторики. Пусть решается вопрос об установлении проводной связи между 25 предприятиями фирмы по следующему принципу – каждое предприятие должно иметь отдельный канал связи со всеми остальными. Сколько таких каналов придется установить в фирме?

Для решения вопроса можно нарисовать выпуклый 25–угольник и провести в нем все диагонали, пересчитав в конце их число и не забыв добавить число сторон. Человек, знающий комбинаторику, во-первых, не сделает ошибки –25·24=600 каналов. Во-вторых, он мгновенно укажет верный ответ – всего требуется 300 каналов. Комментарии излишни…

 

Для освоения наиболее популярных применений комбинаторики нам потребуется использовать, по крайней мере, два ее основных понятия ­– перестановки и сочетания.

Перестановками называют операции над упорядоченным рядом из n различных объектов, в процессе которых “списочный состав” ряда не изменяется, но “места” объектов в этом ряду изменяются от варианта к варианту. Не будем тратить время на обоснование расчетной формулы для произвольного n, а попробуем найти число перестановок в ряду из 1, 2 и 3 предметов.

Воспользуемся для этого простенькой схемой:

n=1 A 1 вариант.

n=2 AB BA 1·2= 2 варианта.

n=3 ABC ACB BCA BAC CAB CBA 1·2·3= 6 вариантов.

Можно доказать строго, что в общем случае число перестановок в ряду из n элементов составит

{8–1}

Сочетаниями называют операции над множеством из n различных объектов, в процессе которых образуют подмножества из k элементов, взятых из исходного множества, так, чтобы варианты подмножеств отличались друг от друга хотя бы одним элементом.

Опустим доказательство формулы для расчета числа сочетаний из n по k в общем виде и приведем лишь примеры для числа сочетаний из 3 по 2 и из 5 по 3.

· Элементы исходного множества A, B, C.

Варианты подмножеств: AB, AC, BC – всего три.

· Элементы исходного множества A, B, C, D, E.

Варианты подмножеств: ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE – всего десять.

В общем случае число вариантов сочетаний или просто – число сочетаний из n по k определяется по формуле

= {8–2}

Существует еще один способ вычисления числа сочетаний из n по k – с использованием коэффициентов в развернутой форме бинома (p+q)ⁿ. В самом деле, например, при n=3 коэффициенты при степенях разложения составляют 1, 3, 3, 1 – а это и есть сочетания из 3 по 0, 1, 2, 3 и 4 элементов.

Известна также схема простого расчета биномиальных коэффициентов, которая носит названия треугольника Паскаля:

Для n

 

Первый элемент любого основания равен 1, второй – номеру основания, а все последующие – сумме двух "вышестоящих".

 

Методы вычисления моментов распределений

  · Пусть требуется просуммировать ряд чисел T1, T2, ……Tk, …Tm и мы замечаем,… {8–3}

Алгоритмы простейших статистических расчетов

Большую часть этих трудностей можно преодолеть ­– путем использования специальных статистических программ (или целого набора – пакета прикладных… На сегодня программное обеспечение статистических расчетов выполнено, как… Поэтому имеет смысл затратить некоторое время на анализ определенных трудностей, которые наверняка будут проявляться…