Критерии статистических гипотез

Если мы пытаемся решить некоторую статистическую задачу, то в большинстве случаев нам придется заниматься не столько математическими выкладками и числовыми расчетами, сколько принимать решение – какую из выдвинутых нами же статистических гипотез принять (или – какую из них отвергнуть).

Так вот, решающее правило, согласно которому мы будем действовать, принято называть статистическим критерием. К сожалению, не существует единого, универсального критерия значимости ­– их приходится разрабатывать в теории и использовать на практике применительно к особенностям конкретных задач.

Вместе с тем, любому критерию значимости присуще одно и то же свойство – во всех случаях мы не получим категоричного указания на “истинную” гипотезу, прямого ответа на вопрос ­– какую из гипотез нам принять.

Еще более непривычным для человека с навыками искать и находить ответы в расчетных задачах, будет сама форма ответа на вопрос о сравнении гипотез Њ₀ и Њ₁ – например, в таком виде "если отбросить нулевую гипотезу, то вероятность ошибки такого действия не превосходит 3 % ".

Дальше уже наше дело, принять или отвергнуть ту или иную гипотезу – теория большего дать не в состоянии. Надо понять различие между выделенным утверждением и вроде бы аналогичным ­– "вероятность верности гипотезы Њ₁ составляет 97%" . Все между тем очень просто – вычислить возможно только вероятность ошибочности Њ₀ и не более того!

Пусть мы интересуемся симметрией обычной монетки и собираемся проводить эксперименты ­– подбрасывать её и фиксировать результаты. Выдвинем гипотезу – монета симметрична. Если мы собираемся произвести N подбрасываний и по их итогам проверить гипотезу, должны просчитать вероятности выпадения 0, 1, 2 и т.д. до N “гербов”. Конечно, можно выполнить расчеты и после окончания опыта ­– всё равно это будут априорные вероятности по своей сути.

Проиллюстрируем это на рассмотренной ранее ситуации 8 экспериментов с монеткой. Предположим, что частости появления возможных исходов уже вычислены – в таких случаях говорят о наличии выборочного распределения вероятностей. Для нашего эксперимента такое распределение имеет вид:

Таблица 4–1

Если мы в результате эксперимента получили сумму гербов S = 1, то вероятность наблюдать такую сумму (и менее вероятное значение S=0) составляет для симметричной монетки P(S <2) = (1+8) / 256 @ 0.036. Можно, однако, рассуждать и иначе. Ведь мы наблюдали в том же опыте 7 появлений “решки”. Вероятность наблюдать такое и менее вероятное число 8 составляет точно столько же – P(S>6) = (1+8) / 256 @ 0.036. Осталось построить решающее правило ­– критерий для принятия окончательного решения в отношении выдвинутых гипотез (основной Њ₀ и альтернативной Њ₁).

Заметим, что при выдвинутой нами основной гипотезе Њ₀:(p=q) альтернативную гипотезу можно выдвигать по разному:

Њ₁: (p#q)– монета несимметрична, ненаправленная гипотеза, требующая использования двухсторонних вероятностей;

Њ₁: (p<q)– монета несимметрична и при этом “герб” легче, направленная гипотеза, достаточно односторонних вероятностей.

Применим оба приема построения критерия в условиях нашего примера.

· Нулевая гипотеза Њ₀: (p=q). Альтернативная гипотеза Њ₁: (p#q).

Уровень значимости a=0.05. Итог наблюдений при N=8: S= 1 .

Вероятность такого итога при условии, что нулевая гипотеза верна составляет

P(S<2)+ P(S>6) @ 0.072, т.е. больше порогового значения

Решение: нулевую гипотезу не отвергаем, монетку считаем симметричной.

· Нулевая гипотеза Њ₀: (p=q). Альтернативная гипотеза Њ₁: (p<q).

Уровень значимости a=0.05. Итог наблюдений при N=8: S= 1 .

Вероятность такого итога при условии, что нулевая гипотеза верна составляет P(S<2) @ 0.036, т.е. меньше уровня значимости.

Решение: нулевую гипотезу отвергаем, монетку считаем направленно несимметричной.

Возможно у вас возникло сомнение в части первого способа оценки статистических гипотез – ведь герб наблюдался всего один раз из восьми и, тем не менее, гипотеза о симметрии монетки не отбрасывается.

На самом деле всё правильно и обосновано ­– смысл нулевых гипотез Њ₀ в первом и втором случае, несмотря на формальную тождественность, не одинакова. Суть дела заключена в формулировке альтернативных гипотез Њ₁.

В первом случае Њ₁ охватывает два события (p>q) или (p<q), а значит это более жесткое предположение. Во втором случае Њ₁ связана только с одним событием (p<q), а значит она мягче, требует меньшего количества информации для признания ее истинной.