рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Эквивалентность функций.

Эквивалентность функций. - раздел Математика, Первообразная, разбиение их множества на классы и определение интеграла. Таблица интегралов. D - Отношение Эквивалентности Df: Пусть D - Множест...

d - отношение эквивалентности

Df: Пусть D - множество диф-мых на промежутке I функций F d G <=> F' = G'

Df: Введем понятие отношения t: F t G <=> F - G = const

Th: t совпадает с d

Доказательство:

а) F t G => по определению => F - G = const => (F - G)' = 0 => F'=G' => F d G

б) F экв G => F' = G', H(х) = F(x) - G(x), H(х)' = 0

Применим теорему Лагранжа

Возьмем x0 Î I=[a,b] по условию F и G дифференцируемы на I => H - диф-ма на I

H(х) - H(х0) / x - x0 = H(s)' x0 < s < x

H(х)-H(х0) = (x-x0) * H(s)'

H(х)-H(х0) = (x-x0) * 0

H(х)=H(х0) => H(х) = F(x) - G(x) - const => F t G

Df: Возьмем функцию FÎD[F]d=[F]t=òf(x)dx - н/о интеграл f(x), где f(x)=F'(x). Пусть С - мн-во всех ф-ций с пост. значением, тогда: òf(x)dx=F+C={F+с |сÎR}

Простейшие свойства:

a(F + С) = aF + С, a нельзя перед С так как при a = 0 некорректность

(F + С)+ (G + С) = F + G + С, здесь С = 2С = ... = aС

1) aòf(х)dx = òaf(х)dx

2) ò(f(х) + g(х))dx = òf(х)dx + òg(х)dx

3) òf(х)`dx = f(х) + C

4) (òf(х)dx)` = f(х) (dòf(x)dx = f(x)dx)

Таблица интегралов:

1) òхmdx = xm+1 / m+1 + C (m ¹ -1) 7) ò1 / cos2x dx = tgx + C
2) ò1 / 1+x2 dx = arctgx + C = -arcctgx + C 8) ò1 / sin2x dx = -ctgx + C
3) ò1 / Ö(1-x2) dx = arcsinx + C = -arccosx + C 9) ò1/x dx = ln|x| + C
4) òaxdx = ax / lna + C 10) òexdx = ex + C
5) òsinxdx = -cosx + C; òcosxdx = sinx + C 11) ò1 / 1-x2 dx = ln|1+x / 1-x| + C

2. Подстановка и замена переменной в н/о интеграле

Th: Пусть 1) òf(x)dx = F(x)+C на I; 2) g Î D g: J®I, тогда òf(g(t))g'(t)dt = F(g(t))+C

Доказательство: Из условия (1) F(x) на I непрерывна, из (2) g(t) непрерывна на I => функция F(g(t)) - непрерывна на I => имеем право продифференцировать, учитывая что F'(x)=f(x) (1) по правилу диф-ния сложных функций получаем: F`(g(t)) = f(g(t))g'(t) => функция f(g(t))g'(t) одной из своих первообразных имеет функцию F(g(t)) => $f(g(t))g'(t)dt = F(g(t)) + C

Th: Замена переменной: Пусть 1) òf(v(t))v'(t)dt = F(t) + C на I;

2) v: I®J u: J®I u = v -1;

3) t = u(x).

Тогда òf(x)dx = F(u(x)) + C на J

Доказательство: f(v(t)) = f(v(u(x))) = f(x). v'(u(x))du(x) = v'(u(x))u'(x)dx = dx (по теореме о производной обратной ф-ции).Подставив в (1), получим то, что надо.

 

3. Интегрирование по частям

Th: Пусть u & v дифференцируемы на I и существуют интегралы, тогда òu(x)v`(x)dx = u(x)v(x) - òu'(x)v(x)dx

Доказательство:

Þ Пусть F Î uv - òu'vdx => F' = (uv - òu'vdx)' = u'v + v'u - u'v = v'u => F Î $uv'dx

Ü Пусть F Î òuv'dx докажем что F Î uv - u'vdx или то, что (uv - F) Î òu'vdx для этого продиференцируем (uv - F): (uv - F)' = u'v+v'u-uv' = u'v => (uv - F) Î òu'vdx.

7.Интегралы вида òR(x,dx) a ¹ 0

Такой интеграл приводится к интегралу от рациональной функции нового переменного c помощью подстановок Эйлера:

1) Первый случай: a > 0

= ± x± t

Возведем обе части в квадрат: ax2+bx+c=ax2±2xt+t2, отсюда:

x=t2-c/b±2t= R1(t) - рациональная функция.

dx = R1'(t)dt, R1'(t) тоже Î R[x]:= ±x±t = ±R1(t)±t = R2(t), т.о. òR(x, sqr(ax2+bx+c)dx = òR(R1(t), R2(t))R1'(t)dt

2) Второй случай: Корни трехчлена ax2+bx+c - действительны. Пусть x1, x2 - корни трехчлена ax2+bx+c

a) x1=x2 =>== |x-x1|

если a < 0 то при x ¹ x1 под корнем стоит мнимая величина и этот случай нет смысла рассматривать

если a > 0 то после указанного преобразование получаем, что переменная x не входит под знак корня, т.е. под интегралом стоит просто рациональная функция от x, вообще говоря разная для каждого из промежутков (-¥,x1) и (x1,+¥)

б) x1 ¹ x2 =>= |x-x1|

Получаем: òR(x,)dx = òR(x,|x-x1|)dx = R3(x,) - этот интеграл сводится к интегралу от рациональных функций как частный случай интеграла вида: òR(x,(ax+b/cx+d)m1,...,(ax+b/cx+d)mk)dx

3) c > 0

= ±±xt

ax2+bx+c = c ±2xt+ x2t2

x = b±2t/t2-a = R4(t)

dx = dR4(t) = R4'(t)dt

= ±±xt = ±± R4(t)t = R5(t), где R4(t), R4'(t), R5(t) - суть рациональные функции, поэтому R(x, sqr(ax2 +bx +c)dx = òR(R4(t),R5(t))R4'(t)dt = òRR (t)dt, где RR(t) - рациональная функция.

Иногда кроме подстановок Эйлера применяют тригонометрические и гиперболические подстановки.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Первообразная, разбиение их множества на классы и определение интеграла. Таблица интегралов.

На сайте allrefs.net читайте: Первообразная, разбиение их множества на классы и определение интеграла. Таблица интегралов....

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Эквивалентность функций.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Интегрирование дробно-рациональных функций (случай простых корней)
P(x)/Q(x) - др/рац. функция над полем R, degP(x)<degQ(x) => дробь правильная. Если дробь неправильная => P = Q*q+r, P/Q = q+r/Q, где r/Q - правильная дробь Лемма:

Интегрирование дробно-рациональных функций (случай кратных корней)
Лемма1: Пусть P(x), Q(x) над полем R[x] degP(x)<degQ(x); Q(x)=(x-z)kR(x) k³2, R(z)¹0, тогда $AÎR и P'(x) над R[x]: òP(x)/Q(x)dx=A/(x-z)k-1

Интегрируемость по Риману. Ограниченность итегрируемой функции.
P - упорядоченное по возрастанию конечное мн-во (.) из [a,b] содержащих (.) a & b. P = {a = x0 < x1< x2 <...< xn-1 < xn

Суммы Дарбу и их свойства
P = {a = x0 < x1< x2 <...< xn-1 < xn = b} NI = sup f(x) x Î [xI-1,xI]

Критерий интегрируемости
Из утверждения о том что для произвольных разбиений P & Q c(P) £ C(Q), зафиксировав Q получим, что множество нижних сумм Дарбу ограничено сверху (одной из верхних сумм) => $ sup c(P) =

Интегрируемость непрерывных и монотонных функций.
Th: Если f ограничена и монотонна на [a,b], то f Î L[a,b]: Доказательство: P = {a = x0 < x1< x2 <

Среднее значение функции на отрезке.
Th: Пусть f, g Î L[a,b} и f(x) £ g(x) на [a,b], Тогда: a) £

И дифференцируемость. Существование первообразной у непрерывной функции.
f Î L[a,b], F(x) = , x Î [a,b] Th: Пусть f Î L[a,b], тогда F(x) =

Формула Ньютона-Лейбница
Th: Пусть f Î L[a,b] имеет первообразную F на (a,b), F непрерывна в точках a и b, Тогда = F(b)

Замена переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.
Теорема о замене переменной: Пусть g монотонна на [a,b] и g’ Î C[a,b], f Î C[g(a),g(b)], тогда

Сходимость несобственного интеграла и ряда. Их взаимосвязь. Критерий Коши.
[a,b) b Î RÇ{¥} " b' < b f(x) Î L[a,b`] => F(x) = (a£x£b)

Абсолютная и условная сходимости. Теоремы сравнения.
У всех интегралов в b особенность Df:сходится абсолютно если

Интегральный признак сходимости ряда.
Интегральный признак сходимости ряда: f Î [o,x) x Î R+. Пусть f(x) монотонно стремится к 0 при x®+¥, Тогда следующие условия равносильны: 1)

Ряды Лейбница
S0...¥ aN, где aNaN+1 < 0, т.е. знаки aN и aN+1 противоположны Th: Пусть aNa

Степенные ряды. Область сходимости.Радиус сходимости и его вычисление.
S0...¥fN (x) D={x Î R: S0...¥fN(x) - сходится} Пример: S0...¥xN; N

Открытые, замкнутые, компактные множества. Фундаментальные последовательности на компакте.
Df: A Í RN, xO Î A; xO - внутренняя точка A, если $R: OR(xO) Í A. AO - множество внутренних то

Предел и непрерывность функции многих переменных. Свойства непрерывной функции на компакте.
f:RN ® RM (при m = 1 - это фунция от n переменных) f:D Î RN ® RM A Î RN - предел этой вектор функции, xO

Связанные множества. Теорема о промежуточном значении.
Df: D Í RN u:[a,b] ® RN, u - непрерывна на [a,b], u(x) ¹ u(x') при x ¹ x', u(a) = xO, u(b)=x1. При x ¹ x' T = {u(x

Дифференцируемость. Производные по направлению.
Df: Пусть Df - область определения функции f Î RN, f:Df®RM, xO Î DOf (DOf - множество внутренних точек), f - дифф

Поверхности уровня. Касательная плоскость.
Th: Пусть f:DÍR2®R и ¶2/¶x¶y, ¶2/¶y¶x - непрерывны в точке (x0,y0), тогда ¶2f(x0,y0)/

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги