Реферат Курсовая Конспект
Эквивалентность функций. - раздел Математика, Первообразная, разбиение их множества на классы и определение интеграла. Таблица интегралов. D - Отношение Эквивалентности Df: Пусть D - Множест...
|
d - отношение эквивалентности
Df: Пусть D - множество диф-мых на промежутке I функций F d G <=> F' = G'
Df: Введем понятие отношения t: F t G <=> F - G = const
Th: t совпадает с d
Доказательство:
а) F t G => по определению => F - G = const => (F - G)' = 0 => F'=G' => F d G
б) F экв G => F' = G', H(х) = F(x) - G(x), H(х)' = 0
Применим теорему Лагранжа
Возьмем x0 Î I=[a,b] по условию F и G дифференцируемы на I => H - диф-ма на I
H(х) - H(х0) / x - x0 = H(s)' x0 < s < x
H(х)-H(х0) = (x-x0) * H(s)'
H(х)-H(х0) = (x-x0) * 0
H(х)=H(х0) => H(х) = F(x) - G(x) - const => F t G
Df: Возьмем функцию FÎD[F]d=[F]t=òf(x)dx - н/о интеграл f(x), где f(x)=F'(x). Пусть С - мн-во всех ф-ций с пост. значением, тогда: òf(x)dx=F+C={F+с |сÎR}
Простейшие свойства:
a(F + С) = aF + С, a нельзя перед С так как при a = 0 некорректность
(F + С)+ (G + С) = F + G + С, здесь С = 2С = ... = aС
1) aòf(х)dx = òaf(х)dx
2) ò(f(х) + g(х))dx = òf(х)dx + òg(х)dx
3) òf(х)`dx = f(х) + C
4) (òf(х)dx)` = f(х) (dòf(x)dx = f(x)dx)
Таблица интегралов:
1) òхmdx = xm+1 / m+1 + C (m ¹ -1) | 7) ò1 / cos2x dx = tgx + C |
2) ò1 / 1+x2 dx = arctgx + C = -arcctgx + C | 8) ò1 / sin2x dx = -ctgx + C |
3) ò1 / Ö(1-x2) dx = arcsinx + C = -arccosx + C | 9) ò1/x dx = ln|x| + C |
4) òaxdx = ax / lna + C | 10) òexdx = ex + C |
5) òsinxdx = -cosx + C; òcosxdx = sinx + C | 11) ò1 / 1-x2 dx = ln|1+x / 1-x| + C |
2. Подстановка и замена переменной в н/о интеграле
Th: Пусть 1) òf(x)dx = F(x)+C на I; 2) g Î D g: J®I, тогда òf(g(t))g'(t)dt = F(g(t))+C
Доказательство: Из условия (1) F(x) на I непрерывна, из (2) g(t) непрерывна на I => функция F(g(t)) - непрерывна на I => имеем право продифференцировать, учитывая что F'(x)=f(x) (1) по правилу диф-ния сложных функций получаем: F`(g(t)) = f(g(t))g'(t) => функция f(g(t))g'(t) одной из своих первообразных имеет функцию F(g(t)) => $f(g(t))g'(t)dt = F(g(t)) + C
Th: Замена переменной: Пусть 1) òf(v(t))v'(t)dt = F(t) + C на I;
2) v: I®J u: J®I u = v -1;
3) t = u(x).
Тогда òf(x)dx = F(u(x)) + C на J
Доказательство: f(v(t)) = f(v(u(x))) = f(x). v'(u(x))du(x) = v'(u(x))u'(x)dx = dx (по теореме о производной обратной ф-ции).Подставив в (1), получим то, что надо.
3. Интегрирование по частям
Th: Пусть u & v дифференцируемы на I и существуют интегралы, тогда òu(x)v`(x)dx = u(x)v(x) - òu'(x)v(x)dx
Доказательство:
Þ Пусть F Î uv - òu'vdx => F' = (uv - òu'vdx)' = u'v + v'u - u'v = v'u => F Î $uv'dx
Ü Пусть F Î òuv'dx докажем что F Î uv - u'vdx или то, что (uv - F) Î òu'vdx для этого продиференцируем (uv - F): (uv - F)' = u'v+v'u-uv' = u'v => (uv - F) Î òu'vdx.
7.Интегралы вида òR(x,dx) a ¹ 0
Такой интеграл приводится к интегралу от рациональной функции нового переменного c помощью подстановок Эйлера:
1) Первый случай: a > 0
= ± x± t
Возведем обе части в квадрат: ax2+bx+c=ax2±2xt+t2, отсюда:
x=t2-c/b±2t= R1(t) - рациональная функция.
dx = R1'(t)dt, R1'(t) тоже Î R[x]:= ±x±t = ±R1(t)±t = R2(t), т.о. òR(x, sqr(ax2+bx+c)dx = òR(R1(t), R2(t))R1'(t)dt
2) Второй случай: Корни трехчлена ax2+bx+c - действительны. Пусть x1, x2 - корни трехчлена ax2+bx+c
a) x1=x2 =>== |x-x1|
если a < 0 то при x ¹ x1 под корнем стоит мнимая величина и этот случай нет смысла рассматривать
если a > 0 то после указанного преобразование получаем, что переменная x не входит под знак корня, т.е. под интегралом стоит просто рациональная функция от x, вообще говоря разная для каждого из промежутков (-¥,x1) и (x1,+¥)
б) x1 ¹ x2 =>= |x-x1|
Получаем: òR(x,)dx = òR(x,|x-x1|)dx = R3(x,) - этот интеграл сводится к интегралу от рациональных функций как частный случай интеграла вида: òR(x,(ax+b/cx+d)m1,...,(ax+b/cx+d)mk)dx
3) c > 0
= ±±xt
ax2+bx+c = c ±2xt+ x2t2
x = b±2t/t2-a = R4(t)
dx = dR4(t) = R4'(t)dt
= ±±xt = ±± R4(t)t = R5(t), где R4(t), R4'(t), R5(t) - суть рациональные функции, поэтому R(x, sqr(ax2 +bx +c)dx = òR(R4(t),R5(t))R4'(t)dt = òRR (t)dt, где RR(t) - рациональная функция.
Иногда кроме подстановок Эйлера применяют тригонометрические и гиперболические подстановки.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
На сайте allrefs.net читайте: Первообразная, разбиение их множества на классы и определение интеграла. Таблица интегралов....
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Эквивалентность функций.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов