Формула Ньютона-Лейбница

Th: Пусть f Î L[a,b] имеет первообразную F на (a,b), F непрерывна в точках a и b, Тогда = F(b) - F(a)

Доказательство: P_N = {a = x₀ < x₁ < ...< x_N = b}

F(b) - F(a) = -F(x₀) + F(x₁) - F(x₁) + F(x₂) - F(x₂) +...+ F(x_N-1) - F(x_N-1) + F(x_N)

По условию F - дифференцируема в (x_I-1,x_I) и непрерывна в x_I-1,x_I => по теореме Лагранжа F(x_I) - F(x_I-1) = F'(m_I)Dx_I, m_I Î [x_I-1,x_I]

F(b) - F(a) = S_1...NF’(m_I)D(x_I) = S_1...N f(m_I)D(x_I) при n®¥ S_1...N f(m_I)D(x_I) ® => lim F(b)-F(a) = => F(b)-F(a) =