Ряды Лейбница

S_0...¥ a_N, где a_Na_N+1 < 0, т.е. знаки a_N и a_N+1 противоположны

Th: Пусть a_Na_N+1 < 0 и |a_N|®0, тогда если S_0...¥ a_N сходится и равна S, то |S| £ |a₀|, а знак S совпадает со знаком a₀ (sgn S = sgn a₀, a₀¹0)

Доказательство: a₀>0

S_N = S_0...N-1 a_K = (a₀+a₁) + (a₂+a₃) +...+ (a_N-2+a_N-1) каждое из слагаемых больше нуля так как |a_N|®0

S_N = a₀ + (a₁+a₂) + (a₃+a₄) +...+ (a_N-3+a_N-2) + a_N-1 < a₀ все слагаемые кроме первого меньше нуля

S_N - четное число слагаемых (при n - нечетном)

Последовательность S₁,S₃, S₅...

S_N+2 = S_N + (a_N+a_N+1), т.к. (a_N+a_N+1) > 0 => S_N при n нечетных монотонно возрастает и S_N £ a0 => $ lim S_N = S £ a₀

S_N+1 = S_N + a_N ® S + 0 = S => S_N+1 ® S £ a₀

Для a₀ < 0 аналогично.